CRC 中未检测到的错误概率以及与链路错误率的关系

Question

未检测到错误的概率随链接类型而变化？它们有关系吗？ 我的意思是，如果链路有损或误码率较高这将如何影响未检测到的错误概率？ 有任何公式可以计算吗？

Answer 1

“链接类型”的真正含义是通道的错误特征。在具有高误码率的通道上，例如CRC (n) 中每条消息某处出错的位数（每条消息都获得一个 CRC），通常未检测到的比率为 2^-n 每条消息适用。至少总是这么好。这就是你的公式。

当然假设错误是随机的。有可能故意应用计算出来的错误以保持 CRC 不变，因此 CRC 无法防范那些具有恶意意图的错误。

但是，由于误码率较低，未检测到的错误概率可以比该公式更好。

然后它变得更加复杂。如果您从不希望消息中出现多于一位的错误，那么 CRC 将始终检测到错误，而不管消息的长度如何。 （CRC 始终提供奇偶校验。）如果 CRC 多项式的因子为 x+1，那么它将始终检测到 odd 个比特错误。 CRC 还具有我不会涉及的特殊“突发”错误属性。假设您有一个误码率，其中消息中的任何位都可以以该概率翻转。 （一个binary symmetric channel。）

对于消息中给定数量的错误位，您会发现消息长度有限，始终会检测到那么多（或更少）的错误。

This page 显示了许多 32 位 CRC 多项式的这些属性。例如，可以查看带有多项式0x04c11db7 的通常 32 位 CRC 的条目。它有这个神秘的数字列表：

{4294967263,91607,2974,268,171,91,57,34,21,12,10,10,10}

这些数字分别对应于消息中的 2、3、4 等错误位。每个数字都是最长消息（不包括 CRC）的比特长度，使用该多项式的 CRC 可以保证检测到那么多错误。

因此，CRC 将始终检测长度不超过 91,607 位的消息中的三个或更少位错误。它始终会检测长度不超过 2,974 位的消息中的四个或更少位错误。

在这种情况下没有简单的公式，因为这些数字是对“码字”进行详尽搜索的结果，这些码字是 CRC 为零的模式。这些可以被视为错误模式，可以应用于任何不会导致 CRC 发生变化的消息。

在给定比特错误率p的情况下，有公式可以计算n比特的消息有k个或更少错误的概率.请参阅binomial distribution 及其近似值。