发生哈希冲突后计算原始集合大小

Question

你有一个空的冰块托盘，里面有 n 个小冰块桶，形成了一个易于可视化的自然散列空间。

你的朋友有 k 个硬币，他喜欢把它们放在冰块托盘里。他反复使用随机数生成器来选择将每一分钱放在哪个桶中。如果随机数确定的桶已经被一分钱占据了，他就把这分钱扔掉，再也看不到了。

假设您的冰块托盘有 100 个桶（即可以制作 100 个冰块）。如果您注意到您的托盘中有 c=80 便士，那么您的朋友开始时最可能的便士 (k) 数是多少？

如果 c 很低，则冲突的几率足够低，以至于 k 的最可能数量 == c。例如。如果 c = 3，那么 k 最可能是 3。但是，碰撞的可能性越来越大，在说 k=14 之后，那么可能性应该是1 次碰撞，所以如果 c = 14，k = 15 的可能性最大。

当然，如果 n == c 那么就没有办法知道了，所以让我们把它放在一边，假设 c n.

给定n和c估计k的一般公式是什么（给定c n )?

Answer 1

目前的问题是不适定的。

设 n 为托盘数。
让 X 成为您朋友开始时的便士数量的随机变量。
设 Y 为填充托盘数量的随机变量。

您要的是分布模式 P(X|Y=c)。
（或者可能期望 E[X|Y=c] 取决于您如何解释您的问题。）

让我们举一个非常简单的例子：分布 P(X|Y=1)。那么

P(X=k|Y=1) = (P(Y=1|X=k) * P(X=k)) / P(Y=1)
= (1/n^k-1 * P(X=k)) / P(Y=1)

由于 P(Y=1) 是归一化常数，我们可以说 P(X=k|Y=1) 与 1/n 成正比^k-1 * P(X=k) .

但是 P(X=k) 是一个先验概率分布。您必须假设您朋友必须开始使用的硬币数量的一些概率分布。

例如，我可以选择以下两个先验：

1. 我之前的信念是 P(X=k) = 1/2^k 对于 k > 0。
2. 我之前的信念是 P(X=k) = 1/2^{k - 100} for k > 100。

两者都是有效的先验；第二个假设 X > 100。两者都会对 X 给出截然不同的估计：先验 1 会估计 X 大约为 1 或 2；之前的 2 会估计 X 为 100。

我建议如果您继续追查这个问题，您只需继续选择一个先前的问题。像这样的东西会很好用：WolframAlpha。这是一个支持 k > 0 且均值为 10^4 的几何分布。