对角化符号矩阵

Question

我需要用 python 对一个符号矩阵进行对角化。在 Mathematica 中可以轻松完成，但使用模块 numpy.linalg 时出现问题。

为了具体，考虑矩阵

[[2, x], [x, 3]]

其中x 是一个符号变量。我想我遇到了问题，因为 numpy 包是为数值计算提供的，而不是符号的，但我找不到如何用 sympy 来做。

Answer 1

您可以根据特征值计算它，但实际上有一种方法可以为您计算，diagonalize

In [13]: M.diagonalize()
Out[13]:
⎛                                        ⎡     __________                       ⎤⎞
⎜                                        ⎢    ╱    2                            ⎥⎟
⎜⎡      -2⋅x                2⋅x       ⎤  ⎢  ╲╱  4⋅x  + 1    5                   ⎥⎟
⎜⎢─────────────────  ─────────────────⎥, ⎢- ───────────── + ─          0        ⎥⎟
⎜⎢   __________         __________    ⎥  ⎢        2         2                   ⎥⎟
⎜⎢  ╱    2             ╱    2         ⎥  ⎢                                      ⎥⎟
⎜⎢╲╱  4⋅x  + 1  - 1  ╲╱  4⋅x  + 1  + 1⎥  ⎢                        __________    ⎥⎟
⎜⎢                                    ⎥  ⎢                       ╱    2         ⎥⎟
⎜⎣        1                  1        ⎦  ⎢                     ╲╱  4⋅x  + 1    5⎥⎟
⎜                                        ⎢         0           ───────────── + ─⎥⎟
⎝                                        ⎣                           2         2⎦⎠

M.diagonalize() 返回一对矩阵(P, D)，使得M = P*D*P**-1。如果它不能计算出足够多的特征值，要么是因为矩阵不可对角化，要么是因为solve() 找不到特征多项式的所有根，它将引发MatrixError。

另请参阅 SymPy 教程的 this section。

Answer 2

假设矩阵是可对角化的，则可以得到特征向量和特征值

from sympy import *
x = Symbol('x')
M = Matrix([[2,x],[x,3]])
print M.eigenvects()
print M.eigenvals()

给予：

[(-sqrt(4*x**2 + 1)/2 + 5/2, 1, [[-x/(sqrt(4*x**2 + 1)/2 - 1/2)]
[                            1]]), (sqrt(4*x**2 + 1)/2 + 5/2, 1, [[-x/(-sqrt(4*x**2 + 1)/2 - 1/2)]
[                             1]])]
{sqrt(4*x**2 + 1)/2 + 5/2: 1, -sqrt(4*x**2 + 1)/2 + 5/2: 1}

您应该查看documentation，那里列出了许多其他分解。

请注意，并非每个矩阵都是可对角化的，但您可以使用 sympy 命令 .jordan_form 将每个矩阵放入 Jordan Normal Form。