傅里叶域中的图像高斯卷积：有效，但不应该

Question

问题是我无法完全理解频域卷积的原理。

我有一个image of size 256x256，我想与3x3 gaussian matrix 进行卷积。它的系数是（1/16, 1/8, 1/4）：

PlainImage<float> FourierRunner::getGaussMask(int sz)
{
    PlainImage<float> G(3,3);
    *G.at(0, 0) = 1.0/16; *G.at(0, 1) = 1.0/8; *G.at(0, 2) = 1.0/16;
    *G.at(1, 0) = 1.0/8; *G.at(1, 1) = 1.0/4; *G.at(1, 2) = 1.0/8;
    *G.at(2, 0) = 1.0/16; *G.at(2, 1) = 1.0/8; *G.at(2, 2) = 1.0/16;
    return G;
}

为了获得图像和滤波器内核的 FFT，我对它们进行了零填充。 sz_common 代表扩展大小。图像和内核分别移动到h和gComplexImages的中心，因此在右、左、下和上补零。

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由于循环卷积属性，我已经读过尺寸应该是sz_common >= sz+gsz-1：过滤器可以改变边界上不需要的图像值。
但它不起作用：只有当sz_common = sz、sz_common = sz+gsz-1 或sz_common = 2*sz 时，IFFT 后才能得到足够的结果，我得到的卷积图像要小 2-3 倍！ 为什么？

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我也很困惑过滤矩阵值应该乘以 256，比如像素值：关于 SO 的其他问题包含没有这种标准化的 Matlab 代码。与之前的情况一样，如果没有这样的乘法，它会很糟糕：我得到黑色图像。 为什么？

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// fft_in 是移动傅里叶图像，中心在[sz/2;sz/2]

void FourierRunner::convolveImage(ComplexImage& fft_in)
{
    int sz = 256; // equal to fft_in.width()

    // Get original complex image (backward fft_in)
    ComplexImage original_complex = fft_in;
    fft2d_backward(fft_in, original_complex);

    int gsz = 3;
    PlainImage<float> filter = getGaussMask(gsz);
    ComplexImage filter_complex = ComplexImage::fromFloat(filter);

    int sz_common = pow2ceil(sz); // should be sz+gsz-1 ???

    ComplexImage h = ComplexImage::zeros(sz_common,sz_common);
    ComplexImage g = ComplexImage::zeros(sz_common,sz_common);

    copyImageToCenter(h, original_complex);
    copyImageToCenter(g, filter_complex);

    LOOP_2D(sz_common, sz_common) g.setPoint(x, y, g.at(x, y)*256);

    fft2d_forward(g, g);
    fft2d_forward(h, h);
    fft2d_fft_shift(g);

    // CONVOLVE
    LOOP_2D(sz_common,sz_common) h.setPoint(x, y, h.at(x, y)*g.at(x, y));

    copyImageToCenter(fft_in, h);
    fft2d_backward(fft_in, fft_in);
    fft2d_fft_shift(fft_in);

    // TEST DIFFERENCE BTW DOMAINS
    PlainImage<float> frequency_res(sz,sz);
    writeComplexToPlainImage(fft_in, frequency_res);

    fft2d_forward(fft_in, fft_in);
}

我尝试在右侧和底部对图像进行零填充，以便将较小的图像复制到较大的开头，但它也不起作用。
我在空间域中编写了卷积来比较结果，频率模糊结果几乎与空间域中的相同（平均误差 btw 像素为 5），仅当 sz_common = sz 时。

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那么，您能解释一下这种情况下的零填充和归一化现象吗？提前致谢。

Answer 1

空间域中的卷积相当于傅里叶域中的乘法。

这是到处定义的连续函数的真相。
然而在实践中，我们有离散信号和卷积核。
需要更温柔的呵护。

如果您有一个大小为 M x N 的图像和一个大小为 MM x NN 的内核，如果您对它们应用 DFT（FFT 是计算 DFT 的一种有效方法），您将获得大小为分别为 M x N 和 MM x NN。
此外，上述定理，关于乘法等价性要求将相同的频率彼此相乘。

由于实际上内核比图像小得多，因此通常将零填充到图像的大小。
现在，通过应用 DFT，您将得到相同 M x N 大小的矩阵，并且能够将它们相乘。
然而，这相当于图像和内核之间的循环卷积。

要应用线性卷积，您应该使它们的大小都为 (M + MM - 1) x (N + NN - 1)。
通常这是通过在图像上应用“复制”边界条件并对内核进行零填充。

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