使用 Python/Scipy 对大稀疏矩阵进行对角化

Question

我正在处理一个大型（复杂的）厄米特矩阵，我正在尝试使用 Python/Scipy 对其进行有效对角化。

使用scipy.linalg中的eigh函数，大约需要3秒来生成和对角化大约800x800的矩阵并计算所有特征值和特征向量。

我的问题中的特征值对称分布在 0 附近，范围大致为 -4 到 4。不过，我只需要与负特征值相对应的特征向量，这会将我要计算的范围转换为 [-4,0 ）。

我的矩阵是稀疏的，所以很自然地使用scipy.sparsepackage 及其函数通过eigsh 计算特征向量，因为它使用更少的内存来存储矩阵。

我还可以告诉程序只通过which='SA' 计算负特征值。这种方法的问题是，现在大约需要 40 秒来计算一半的特征值/特征向量。我知道，ARPACK 算法在计算小特征值时效率非常低，但我想不出任何其他方法来计算我需要的所有特征向量。

有什么办法可以加快计算速度？也许使用移位反转模式？我将不得不做很多很多对角化并最终增加矩阵的大小，所以我现在有点迷茫。

非常感谢任何帮助！

Answer 1

这个问题最好在 http://scicomp.stackexchange.com 上提问，因为它更多的是一般的数学问题，而不是特定于 Scipy 或与编程相关的问题。

如果您需要所有特征向量，则使用 ARPACK 没有多大意义。由于您需要 N/2 个特征向量，因此您的内存要求至少为 N*N/2 floats；并且可能在实践中更多。使用 eigh 需要 N*N+3*N 浮动。 eigh 与最低要求相差 2 倍，因此最简单的解决方案是坚持下去。

如果您可以“在线”处理特征向量，以便在处理下一个之前丢弃前一个，还有其他方法；查看 scicomp 上类似问题的答案。