AVL 树总是红黑树的子集吗？答案

【问题标题】：Are AVL trees always a subset of red black trees?AVL 树总是红黑树的子集吗？
【发布时间】：2010-09-30 17:02:29
【问题描述】：

我正在寻找所有 AVL 树都可以像红黑树一样着色的证据？谁能给个证明？

【问题讨论】：

我不明白这个问题。
虽然我们愿意提供帮助，但我们不会为您做功课。因此，请先尝试一下，如果遇到困难，请返回并提出具体问题。
@Justice，他正在寻找一个证明，证明所有 avl 树都可以用两种颜色着色，而不需要两个连接的节点具有相同的颜色。
color(node) = if is_even(depth(node)) then "black" else "red" ...这真的是问题吗？还是他在问是否可以对 AVL 树进行着色以使其服从红黑树的所有属性？
@Justice：我认为是后者

标签： data-structures avl-tree red-black-tree

【解决方案1】：

根据定义，R/B 树的平衡可能比 AVL-s 稍差，如 |maxPath - minPath|对于 AVL 和 maxPath

是完全合法的 AVL，它不是 R/B，因为 R/B 不能包含叶子，并且必须由始终着色为黑色的空树终止 - 这样您就无法为上面的树着色。为了使其成为 R/B，您可以将每个叶子 x 转换为节点 E x E 然后遵循以下规则： R/B 树：必须是 BST 必须只包含黑色或红色的节点和空树每个红色节点都有黑色孩子所有空树都是黑色的给定一个节点，所有到空树的路径必须有相同数量的黑色节点任何叶子都可以替换为左右子树为空的节点最大路径 T ≤ 2 * 最小路径 T

顺便说一句，它刚刚将我的节点和叶子染成红色 - 这不是故意的。卡罗尔

【讨论】：

当然，您可以将上面的树着色为红黑。将 3、4、6 设为黑色。使 1,,5,8 - 红色。根节点为黑色。黑色路径计数在每个方向上都是 2。并且没有亲子都是红色的。所有属性都满足。

【解决方案2】：

红黑树通过红色节点调整分支高度，所以如果高度差是有界的，你总是可以调整所有分支，从最短的黑色分支开始。但这需要非常大的成本，因为你必须计算所有的分支高度。

红黑树的最大局部高度差界限为2。

【讨论】：

【解决方案3】：

我怀疑答案是否定的。

AVL 树的平衡优于 RB 树，这意味着它们的平衡方式不同，这宁愿暗示您不能将每个 AVL 树着色为有效的 RB 树。

【讨论】：

这是不正确的。唯一的实质区别是 AVL 树的平衡更加严格，没有一颗树可以“太平衡”而不能成为红黑树。
不可能有一个AVL树，如果你给它上色，它会处于对RB树无效的状态吗？这是我的担心。
user82238：我认为图形菜鸟是对的。如果您为 AVL 树着色，您只需放置黑色节点，以便黑色路径计数在任何地方都相同，而 AVL 的出色平衡将为您提供帮助。如果您无法完全获得相同的黑色路径计数，则将奇数红色节点放置为“填充”。假设从根到叶的最短 AVL 路径为 9，偶尔为 10。然后将黑色路径计数为 9，在 10 条路径上，使叶节点变为红色。反之亦然。有红黑树不能是 AVL 树

【解决方案4】：

答案是肯定的，每棵 AVL 树都可以着色为红黑，反之则不成立。

我还没有完全弄清楚该怎么做，我也在寻找证据。

【讨论】：

雨果 - 看看我上面说的。