我在某处读到此声明，任何 AVL 树 T 的节点都可以被着色为“红色”和“黑色”，这样 T 就变成了红黑树。
这个陈述似乎很有说服力，但我不明白如何正式证明这个陈述。
根据wiki，一棵红黑树应该满足这五个属性：
a.一个节点不是红色就是黑色。
b.根是黑色的。这条规则有时会被省略。由于根总是可以从红色变为黑色，但不一定反过来，
c。所有叶子 (NIL) 都是黑色的。
d.如果一个节点是红色的，那么它的两个子节点都是黑色的。
e.从给定节点到其任何后代 NIL 节点的每条路径都包含相同数量的黑色节点。
四个条件很简单，我卡住了如何证明语句5
【问题讨论】：
标签： algorithm data-structures tree avl-tree red-black-tree
首先，定义树的高度（用于 AVL 树）：
height(leaf) = 1
height(node) = 1 + max(height(node.left), height(node.right))
此外，定义路径的深度（如用于红黑树，路径是从给定节点到某个叶子的后代链）到是路径上的黑色节点数。
正如您所指出的，将 AVL 树着色为红黑树的棘手之处在于确保每条路径都具有相同的深度。您将需要使用 AVL 不变量：任何给定节点的子树的高度最多只能相差一个。
直观地说，诀窍是使用一种着色算法，其深度对于给定的高度是可预测的，这样您就不需要进行任何进一步的全局协调。然后，您可以局部调整着色，以确保每个节点的子节点具有相同的深度；这是可能的，因为 AVL 条件严格限制了它们的高度差。
这种树着色算法可以解决问题：
color_black(x):
x.color = black;
if x is a node:
color_children(x.left, x.right)
color_red(x): // height(x) must be even
x.color = red
color_children(x.left, x.right) // x will always be a node
color_children(a,b):
if height(a) < height(b) or height(a) is odd:
color_black(a)
else:
color_red(a)
if height(b) < height(a) or height(b) is odd:
color_black(b)
else:
color_red(b)
对于 AVL 树的根，调用color_black(root) 以确保 b.
请注意，树是按深度优先顺序遍历的，同时也确保了一个。
请注意，红色节点的高度都是均匀的。叶子的高度为 1，因此它们将被着色为黑色，确保 c。红色节点的子节点要么有奇数高度，要么比他们的兄弟节点矮，并且将被标记为黑色，以确保 d。
最后，显示 e。 （来自根的所有路径都具有相同的深度），
在n>=1 上使用归纳法来证明：
height = 2*n-1,
n
height = 2*n，
n
n+1 的红黑树
基本情况，对于n = 1：
height = 1，树是叶子；
height = 2，根是一个节点，两个孩子都是叶子，如上标记为黑色；
归纳步骤是我们使用 AVL 不变量的地方：兄弟树的高度最多可以相差 1。对于具有给定 height 的节点：
(height-1)
(height-1)，另一个是(height-2)
归纳步骤：假设n 为真，证明它适用于n+1：
对于奇数height = 2*(n+1)-1 = 2*n+1，
2*n
n
n+1
2*n 和 2*n-1
2*n，color_red() 产生深度n（感应炒作）2*n-1，color_black() 产生深度n（感应炒作）n+1
甚至height = 2*(n+1) = 2*n + 2
2*n+1 = 2*(n+1)-1
n+1
n+1
n+1
n+2
2*n+1 = 2*(n+1)-1 和 2*n
n+1
2*n+1，color_black() 产生深度n+1（见上文）2*n，color_black() 产生深度n+1（感应炒作）n+1
n+2 = (n+1)+1
【讨论】：
好吧，#5 的简单情况是单个后代，它是一片叶子，在 #3 之前它是黑色的。
否则，后代节点为红色，到#4时要求有2个黑色后代。
然后这两种情况递归地应用于每个节点，因此您将始终在每条路径中拥有相同数量的黑色节点。
【讨论】：
即使可以将AVL树转换为红黑树，代价也是非常大的。树的形状与内部结构无关，需要彻底重建。
红黑树的最大局部高差界限为2。
【讨论】：