问题：在我使用 Python 时查看计算机何时在数学计算中进行近似
问题示例：
我的老老师曾经说过这样一句话
You cannot never calculate 200! with your computer.
我现在不完全确定这是否属实。 似乎是这样，因为我从 Python script 那里得到了很多零。
如何查看 Python 代码何时进行近似计算？
【问题讨论】：
标签： python
Python 使用arbitrary-precision arithmetic 来计算整数，所以它可以精确计算200！。对于实数（所谓的floating-point），Python 不使用精确表示。它使用称为IEEE 754 的二进制表示法，它本质上是科学记数法，但以2 为底而不是10 为底。
因此，任何无法以 53 位精度以 2 为底数精确表示的实数，Python 无法产生精确结果。例如，0.1（以 10 为底）是以 2 为底的无限小数，0.0001100110011...，因此无法精确表示。因此，如果您在 Python 提示符下输入：
>>> 0.1
0.10000000000000001
返回的结果不同，因为已从十进制转换为二进制（精度为 53 位），再转换为十进制。结果，你会得到这样的结果：
>>> 0.1 + 0.2 == 0.3
False
如需良好（但较长）的阅读，请参阅What Every Programmer Should Know About Floating-Point Arithmetic。
【讨论】：
Python 以 long 类型的形式具有无限的 integer 大小。也就是说，如果是整数，则对数字大小的限制受Python可用内存的限制。
当您计算一个大数（例如 200）时！你会在它的末尾看到一个 L，这意味着 Python 已经自动将 int 转换为 long，因为 int 不够大，无法容纳该数字。
有关详细信息，请参阅this page 的第 6.4 节。
【讨论】：
200！确实是一个很大的数字。
如果 IEEE 64 位双精度的范围是 1.7E +/- 308（15 位），您可以看到可以得到的最大阶乘约为 170！。
Python 可以处理任意大小的数字，Java 也可以处理 BigInteger。
【讨论】：
如果没有对该声明进行某种澄清，这显然是错误的。仅从个人经验来看，早期的编程课程（在 1980 年代后期）包括解决非常相似（如果不完全相同）的问题。一般来说，要知道某些进行计算的设备没有进行近似，您必须证明（在证明的数学意义上）它不是。
Python 的整数类型（在 2.x 中命名为 int 和 long，在 3.x 中都折叠成 int 类型）非常好，并且不会像 @987654325 那样溢出@ 键入 C。如果您执行 print 200 * 199 * 198 * ... 的明显操作，可能会很慢，但会很准确。同样，加法、减法和模数也是精确的。除法是一个混合包，因为有两个运算符，/ 和 //，并且它们在 2.x 中发生了变化——通常你只能认为它是不精确的。
如果您想要更多控制但又不想将自己局限于整数，请查看decimal 模块。
【讨论】：
Python 会自动处理大量数字（与 C 之类的语言不同，例如，您可以溢出其数据类型并将值重置为零） - 在某个点（sys.maxint 或 2147483647）上，它会将整数转换为“long "（用数字后面的L表示），可以是任意长度：
>>> def fact(x):
... return reduce(lambda x, y: x * y, range(1, x+1))
...
>>> fact(10)
3628800
>>> fact(200)
788657867364790503552363213932185062295135977687173263294742533244359449963403342920304284011984623904177212138919638830257642790242637105061926624952829931113462857270763317237396988943922445621451664240254033291864131227428294853277524242407573903240321257405579568660226031904170324062351700858796178922222789623703897374720000000000000000000000000000000000000000000000000L
长数字“容易”，浮点数更复杂，几乎所有浮点数的计算机表示都是近似值，例如：
>>> float(1)/3
0.33333333333333331
显然你不能在内存中存储无限数量的 3，所以它会作弊并对其进行舍入..
您可能想查看decimal 模块：
- 十进制数可以精确表示。相反，像 1.1 这样的数字在二进制浮点中没有精确的表示。最终用户通常不会期望 1.1 显示为 1.1000000000000001，因为它使用二进制浮点数。
- 与基于硬件的二进制浮点不同，十进制模块具有用户可更改的精度（默认为 28 位），可以根据给定问题的需要进行调整
【讨论】：
见Handling very large numbers in Python。
Python 有一个 BigNum 类来保存 200！并将自动使用它。
你老师的说法，虽然这里不完全正确，但总的来说是正确的。计算机有局限性，很高兴知道它们是什么。请记住，每次添加另一个整数数据存储时，您可以存储一个大 2^32 (40 亿 +) 倍的数字。很难理解还有多少个数字 - 但是当您添加更多整数来存储一个非常大的数字的确切值时，数学会变得更慢。
举个例子（你可以用 1000 位存储什么）
>>> 2 << 1000
2143017214372534641896850098120003621122809623411067214887500776740702102249872244986396
7576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970
8421492101247422837559083643060929499671638825347975351183310878921541258291423929553730
84335320859663305248773674411336138752L
我试图说明用 10000 位甚至 8,000,000 位（一兆字节）可以存储多大的数字，但这个数字有很多页长。
【讨论】：