是否有 O(n) 算法可以为正整数数组生成无前缀数组？答案

【问题标题】：Is there an O(n) algorithm to generate a prefix-less array for an positive integer array?是否有 O(n) 算法可以为正整数数组生成无前缀数组？
【发布时间】：2012-04-11 17:58:22
【问题描述】：

对于数组 [4,3,5,1,2]，我们称前缀为 4 的为 NULL，无前缀的 4 为 0； 3 的前缀是 [4]，3 的无前缀是 0，因为前缀中没有一个小于 3； 5 的前缀是 [4,3]，5 的无前缀是 2，因为 4 和 3 都小于 5； 1 的前缀是 [4,3,5]，1 的无前缀是 0，因为前缀中没有一个小于 1； 2 的前缀是 [4,3,5,1]，无前缀的 2 是 1，因为只有 1 小于 2

所以对于数组 [4, 3, 5, 1, 2]，我们得到 [0,0, 2,0,1] 的无前缀数组，我们可以通过 O(n) 算法来获得无前缀数组吗？

【问题讨论】：

我问这个是因为我想获得一个 O(n) 来计算给定数组的反转，即使这个数组是在流中出现的。
可能不会。看起来拥有一个无前缀数组使我们能够在 O(n) 时间内对原始数组进行排序。
@n.m.：我们如何使用无前缀数组在线性时间内对原始文件进行排序？我看到使用无前缀数组进行排序的方法是将每个元素插入位置 p[i]，但不清楚如何在线性时间内完成。
@Nabb：我不确定它是否可以在 O(n) 中完成，但它肯定可以在不比较元素的情况下完成。排序是 O(nlog(n)) *comparisons.
@n.m. - 这个论点很有希望但很棘手，因为它假设 1) 元素来自无限域，以及 2) 我们拥有的唯一原始操作是常量分支（例如一个元素与另一个元素进行比较，如果我们不允许重复，如果我们这样做的话可能是 3 分支），这一次只给你 1 位信息）。让我们排除 bin 排序，然后理想情况下你应该把它写下来作为答案。

标签： arrays algorithm integer prefix

【解决方案1】：

它不能在 O(n) 中完成，原因与 comparison sort 需要 O(n log n) 比较的原因相同。可能的无前缀数组的数量为n!，因此您至少需要log2(n!) 位信息来识别正确的无前缀数组。 log2(n!) 是 O(n log n)，作者是 Stirling's approximation。

【讨论】：

不完全正确。比较排序需要 O(n log n)，但没有理由需要进行比较排序。例如，您可以使用基数排序对整数数组进行排序。这是 O(k*n) 复杂度。
@ShawnH 我并不是说你必须使用比较排序（或任何排序）——只是同样的信息论逻辑适用。在基数排序中，k通常不是位数，大约是log10（n），使其成为O（n log n）？
@xan：只有在添加元素必须是不同的约束时才能做出这种暗示。例如，我可以有一个包含十亿个 1 位元素的输入数组。
真@AndrewTomazos-Fathomling。谢谢。少于n个！在这种情况下可能的输出，在您的示例中要少得多。

【解决方案2】：

假设输入元素总是固定宽度的整数，您可以使用基于基数排序的技术来实现线性时间：

L 是输入数组
X 是当前通道的焦点 L 的索引列表
n 是我们目前正在研究的位
Count 是当前位置左侧第 n 位的 0 位数
Y 是 L 的递归子序列的索引列表
P 是一个零初始化数组，它是输出（无前缀数组）

在伪代码中...

Def PrefixLess(L, X, n)
    if (n == 0)
       return;

    // setup prefix less for bit n
    Count = 0

    For I in 1 to |X|
        P(I) += Count
        If (L(X(I))[n] == 0)
            Count++;

    // go through subsequence with bit n-1 with bit(n) = 1
    Y = []
    For I in 1 to |X|
        If (L(X(I))[n] == 1)
            Y.append(X(I))

    PrefixLess(L, Y, n-1)

    // go through subsequence on bit n-1 where bit(n) = 0
    Y = []
    For I in 1 to |X|
        If (L(X(I))[n] == 0)
            Y.append(X(I))

    PrefixLess(L, Y, n-1)

    return P

然后执行：

PrefixLess(L, 1..|L|, 32)

【讨论】：

【解决方案3】：

我认为这应该可行，但请仔细检查详细信息。让我们将原始数组 a[i] 中的一个元素和前缀数组中的一个元素称为 p[i]，其中 i 是各个数组的第 i 个元素。

所以，假设我们在 a[i] 并且我们已经计算了 p[i] 的值。有三种可能的情况。如果 a[i] == a[i+1]，则 p[i] == p[i+1]。如果 a[i] = p[i] + 1。这给我们留下了 a[i] > a[i+1] 的情况。在这种情况下，我们知道 p[i+1] >= p[i]。

在幼稚的情况下，我们返回前缀并开始计算小于 a[i] 的项目。但是，我们可以做得更好。首先，认识到 p[i] 的最小值为 0，最大值为 i。接下来看看索引 j 的情况，其中 i > j。如果 a[i] >= a[j]，则 p[i] >= p[j]。如果 a[i]

对该算法进行包络分析，它具有 O(n) 最佳情况下的性能。这是列表已经排序的情况。最坏的情况是它被反向排序。那么性能是O(n^2)。平均性能将是 O(k*n)，其中 k 是一个需要回溯的量。我的猜测是对于随机分布的整数，k 会很小。

我也很确定有办法针对部分排序数据的情况优化此算法。我会查看Timsort 以获取有关如何执行此操作的一些灵感。它使用运行检测来检测部分排序的数据。因此，该算法的基本思想是遍历列表一次并查找数据运行。对于数据的升序运行，您将遇到 p[i+1] = p[i]+1 的情况。对于降序运行，p[i] = p_run[0] 其中 p_run 是运行中的第一个元素。

【讨论】：

在示例 a[1] 中看到“如果 a[i]