你有int rand1()，它以相同的概率输出 0 或 1。
你需要实现int randx(int x)，它输出0,1,2,3,4,...,x，每个值的概率应该相等。
很容易根据rand1 输出为rand3 或rand7 等函数设置位。对于rand3，只需调用rand1 两次并根据输出设置位0 和1，00、01、10、11 将有相同的概率获得选择（25%）。但是像rand4 这样的函数呢？
【问题讨论】：
randx 应该以相等的概率输出 0,1,...,x，这就是为什么我认为你以前的方法可能行不通的原因。跨度>
在这个问题中，您需要保留一些虚拟输出（如@Gene 指出的那样，拒绝采样），在这些输出上重复执行的实验。
我在这里提供了两个实现。 第一个是次优的，但更容易理解。 第二个更理想，但有点困难。最后，我尝试概述证明并链接到 Math StackExchange 答案。
第一种方法 -
第 1 步 - 运行 rand1() x + 1 次。
第 2 步 - 检查输出是否为 one-hot。我的意思是，只有 1 个 x + 1 运行导致 1 和所有其他 0。如果不是这样，请重复第 1 步。否则转到第 3 步。
第 3 步 - 打印索引 1 作为输出。
python 代码将如下所示 -
def randx(x):
choice = -1
while choice == -1:
for i in range(0, x+1):
c = rand1()
if c == 1 and choice == -1:
choice = i
elif c == 1 and choice != -1:
choice = -1
break
第二种方法 -
当然，第一种方法是次优的。你可以做得更好，但它需要更多的代码。假设我们想要在 x+1 值（0 到 x）之间进行预测。您至少需要进行实验k = ceil(log(x+1)) 次。现在，每个结果都有1 / 2^k的相等概率。
在这些2^k 的可能性中，将一些分配给数字（由于我们选择了k，您将看到您可以将一个数字分配给至少一半的可能性）。调用其他可能性 dummy 输出。
当您获得 dummy 输出时，您只需重复实验即可。如果不这样做，则输出与该输出对应的数字。
例如，如果 x = 4，x + 1 = 5。因此我们需要k = 3。分配 0, 1, 2, 3, 4 它们的二进制表示（000 到 101），并将剩余的 3 保留为哑元。伪代码如下所示，
function randx(x):
choice = -1
runs = ceil(log(x+1))
while choice == -1:
output = 0
for i in range(0, runs):
output += pow(2, i)*rand1()
if output <= x:
choice = output
为什么会这样？
我们给所有的数字赋予相等的可能事件。如果这些事件都没有发生，我们只是重复这个实验。如果你看得到一个数字i的总概率，
Let p = 1 / 2^k
Let q = 1 - (x+1)*p
Total probability of getting i = p + q*p + q*q*p + q*q*q*p ...
= p/(1-q)
= 1/(x+1)
Hence this sums up to 1 / (x+1).
有关 MathJax 的更完整解释，请参阅https://math.stackexchange.com/questions/2356/is-it-possible-to-split-coin-flipping-3-ways
【讨论】：
(x+1)/2^(x+1)，例如：对于rand4，您将在@987654341 中选择10000、01000、00100、00010、00001 @可能性。
你的想法是对的。您需要通过连接随机位来生成一个大于您需要的二进制数。但是除非x+1 是2 的幂，否则您需要使用rejection sampling 来确保randx 返回的每个值的概率相同。为了使拒绝的概率很小，比如小于 2^-p，你生成的 2 的幂应该有p+1 位超过必要的位。拒绝的方法如下：
int rand(int x) {
choose b such that m = 2^b >= x+1
let r_max = m - m mod (x+1)
do {
r = base-2 number of r pseudo-random bits
} while (r > r_max)
return r mod (x+1)
}
请注意，当x+1 是 2 的幂时，循环总是只执行一次。如果不是，则每次迭代的概率取决于b。将 1 加到 b 会使再次迭代的概率减半。
【讨论】：