十进制中最长的循环周期 - 错误还是误解？

Question

这是相当“数学问题”，但我在这里发帖是因为这是一个 Project Euler 问题，而且我的工作代码可能存在错误。

问题Determing longest repeating cycle in a decimal expansion 使用对数解决问题，但我有兴趣用简单的蛮力解决问题。更准确地说，我有兴趣了解为什么我的算法和代码没有返回正确的解决方案。

算法很简单：

• 复制“长除法”，
• 在每一步记录除数和余数
• 当一个除数/余数元组重复时，推断十进制表示会重复。

这里是私有字段，根据要求

private int numerator; 
private int recurrence; 
private int result; 
private int resultRecurrence; 
private List<dynamic> digits;

这里是代码：

private void Go()
{
    foreach (var i in primes)
    {
        digits = new List<dynamic>();
        numerator = 1;
        recurrence = 0;

        while (numerator != 0)
        {
            numerator *= 10;

            // quotient
            var q = numerator / i;

            // remainder
            var r = numerator % i;
            digits.Add(new { Divisor = q, Remainder = r });

            // if we've found a repetition then break out
            var m = digits.Where(p => p.Divisor == q && p.Remainder == r).ToList();
            if (m.Count > 1)
            {
                recurrence = digits.LastIndexOf(m[0]) - digits.IndexOf(m[0]);
                break;
            }
            numerator = r;
        }

        if (recurrence > resultRecurrence)
        {
            resultRecurrence = recurrence;
            result = i;
        }
}}

当测试整数 i 的值。但是，我得到的十进制表示不正确 - 我计算 i-1 而正确的结果要少得多（类似于 i-250）。

所以大概我有一个编程错误 - 我找不到 - 或者一个逻辑错误。

我很困惑，因为它对我来说就像multiplicative group over p，其中会有 p-1 个元素。我确定我错过了什么，有人可以提供建议吗？

编辑

我不会包含我的素数代码 - 这不相关，正如我在上面解释的那样，我正确识别了 i 的值（从内存中它是 983），但是我在获取正确的值时遇到了问题resultRecurrence.

Answer 1

我很困惑，因为它对我来说感觉就像一个 p 上的乘法群，其中会有 p-1 个元素。我确定我错过了什么，有人可以提供建议吗？

关闭。

对于除 2 和 5（除以 10）之外的所有素数，余数序列由从 1 开始并变换为

remainder = (10 * remainder) % prime

因此第 k 个余数是 10^k（模素数），余数集形成非零群的子群余数模素数[1]。循环周期的长度就是那个子群的阶数，也就是所谓的10模素数阶。

非零余数模素数的阶数为prime-1，有一个费马定理：

让G 是一个有限阶序g 和H 是G 的一个子群。那么h的顺序H除以g。

所以循环的长度总是prime-1的除数，有时是prime-1，例如7 或 19。

[1] 对于合数 n 互质为 10，这将是余数模 n 与 n 互质的组。

Answer 2

首先，你不需要除数，你只需要余数。

其次，我会将函数拆分为多个独立的部分，而不是将所有内容都放在一个大方法中：循环长度的长除法/查找与其余部分无关（= 查找最长的循环）。

Where 上的 break 加上 Count 是不直观的。为什么不直接使用带有条件(! digits.Contains(r)) 的while 循环呢？ （这需要在循环开始之前将0 作为余数放入digits 列表中。）

这给我们留下了更简洁的代码，应该可以直接调试。

Answer 3

recurrence = digits.LastIndexOf(m[0]) - digits.IndexOf(m[0]);

resultRecurrence 的值肯定是 总是 将是 i-1 吗？因为对于1/n 形式的一小部分，当进行中的除法（ith 数字）给出与 第一个试除法相同的商余数时，小数开始重复（1，因此是i-1）。

（作为旁注，我可以向您介绍Math.DivRem）。