NFA 的复杂性

Question

我在几个来源（例如1、2 - 第 160 页）中看到，通过 NFA 运行的复杂度为 O(m²n)。但是我不明白为什么会这样。

我的直觉是复杂度应该是O(m^n)（其中m是字符串的长度，n是状态数），因为对于输入字符串中的每个字母，都有n个可能的状态NFA 可以转移到他们那里。

谁能给我解释一下？

谢谢。

Answer 1

让我们考虑一下如何进行模拟 NFA 的一步。我们从一组活跃状态 Q_init 开始。对于我们所处的每个状态，我们查看所有用当前符号标记的传出转换，然后将它们收集到一个集合 Q_mid 中。接下来，我们跟踪来自这些状态的所有可能的 ε-转移，并不断重复这个过程，直到没有更多的 ε-转移可以遵循（即，我们找到了 ε-闭包），从而为我们提供了一组新的状态 Q_下一个。然后，我们对输入中的每个字符重复此过程一次。

那么这需要多少时间？好吧，输入字符串中有 m 个字符，所以运行时间是我们对单个字符所做的任何工作的 m 倍。每个状态最多可以有 n 次转换将其留在每个字符上，因此遍历 Q_init 中的所有字符以找到集合 Q_mid 的时间为 O(n ²)：Q_init 中有 O(n) 个状态，我们只需要扫描每个状态的 O(n) 个转换。从那里开始，我们必须继续遵循 ε 转换，直到我们用完要遵循的转换。我们可以通过从 Q_min 中的每个状态同时开始并且仅遵循 ε 转换来执行 BFS 或 DFS 来做到这一点。 NFA 最多可以有 O(n²) 个 ε 转换（每对状态之间一个），因此 BFS 或 DFS 将在 O(n²）。总的来说，我们为每个字符做 O(n²) 个工作，所以完成的总工作是 O(mn²)。