在 MATLAB 中找到没有 for 循环的最佳阈值水平

Question

令 A 和 B 是两个大小相同的矩阵。对于矩阵 M，让 ht(M,t) 阈值 M 的所有条目 t。也就是说，所有绝对值小于 t 的条目都设置为 0。假设我想找到最优阈值 t，使得 norm(ht(A,t)-B,'fro')^2 最小化。

我能看到的唯一方法是有缺陷的：对 A 和阈值 A 的唯一值执行 for 循环并设置 C=ht(A,t)-B，计算 sum(sum(C.* C))。

当 A 很大时，这太慢了。我考虑过对 A 的元素进行排序并找到一些有效的方法来一次将一些条目设置为零，但我不确定这是否可以在没有 for 循环的情况下完成。

有办法吗？

这是一个非常简单的例子（在这种情况下，一个简单的 for 循环很容易工作）：

B =

     0.101508820368332                         0
                     0         0.301996943246957

Set

A=B+.1*ones(2)

A =

         0.201508820368332                       0.1
                       0.1         0.401996943246957

简单的检查表明，如果我们将 A 的非对角线条目归零，我们会最小化 A 和 B 之间的差异。有 3 个可能的阈值，由 unique(A)=[.1,.2015,.402 ]。给定一个潜在的阈值 t，我们可以通过以下方式硬阈值 A：

function [A_thresholded] = ht(A,t)
%
A_thresholded = A .* (abs(A)>t);

Answer 1

矩阵中数据的形式无关紧要。您可以将它们转换为向量并简单地计算平方范数。实际上，您可以按升序对A 的内容进行排序（并置换B 以保留配对）。当您增加阈值以在A 中再包含一个值时，标准只会改变那个增量。因此，您可以在 O(n log n) 中找到您的解决方案。希望这会有所帮助。