使用二分查找在 n*m 乘法表中查找第 k 个最大数

Question

所以，我正在尝试解决这个问题：http://codeforces.com/contest/448/problem/D

Bizon the Champion 不仅迷人，而且非常聪明。

当我们中的一些人在学习乘法表时，Bizon the Champion 以他自己的方式玩得很开心。 Bizon the Champion画了一个n × m的乘法表，其中第i行j列的交点上的元素等于i·j（表的行和列从1开始编号）。然后他被问到：表中第k大的数字是多少？ Bizon the Champion 总是正确而迅速地回答。你能重复他的成功吗？

考虑给定的乘法表。如果你把表中的所有n·m个数按非递减的顺序写出来，那么你写出的第k个数称为第k个最大数。

输入 单行包含整数 n、m 和 k (1 ≤ n, m ≤ 5·105; 1 ≤ k ≤ n·m)。

输出 打印 n × m 乘法表中第 k 个最大的数。

我所做的是，我应用从 1 到 n*m 的二进制搜索来寻找恰好小于它的 k 元素的数字。为此，我编写了以下代码：

using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
ll n,m;
int f (int val);
int min (int a, int b);
int main (void)
{
    int k;
    cin>>n>>m>>k;
    int ind = k;
    ll low = 1LL;
    ll high = n*m;
    int ans;
    while (low <= high)
    {
        ll mid = low + (high-low)/2;
        if (f(mid) == k)
            ans = mid;
        else if (f(mid) < k)
            low = mid+1;
        else
            high = mid-1;
    }
    cout<<ans<<"\n";
    return 0;

}

int f (int val)
{
    int ret = 0;
    for ( int i = 1; i <= n; i++ )
    {
        ret = ret + min(val/i,m);
    }
    return ret;
}

int min (int a, int b)
{
    if (a < b)
        return a;
    else
        return b;
}

但是，我不知道为什么，但这对测试用例给出了错误的答案：

input
2 2 2
output
2

我的输出是 0

我正在学习二分搜索，但我不知道这个实现哪里出了问题。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

忽略二进制搜索不是最快的方法这一事实，您仍然想知道它为什么不正确。

首先要非常清楚你想要什么以及你的 f 返回什么：

寻找恰好比它少 k 个元素的数。

不！您正在寻找 k 个元素小于 或等于 的最小数。并且您的函数f(X) 返回小于或等于 X 的元素的计数。

所以当 f(X) 返回一个太小的值时，你知道 X 必须至少大 1，所以low=mid+1 是正确的。但是当 f(X) 返回的值太大时，X 可能是完美的（可能是一个元素在表中出现多次）。相反，当 f(X) 返回完全正确的数字时，X 可能仍然太大（X 可能是在表中出现零次的值）。

所以当 f(X) 不太小时，你能做的最好的就是high=mid 而不是high=mid-1

while (low < high)
{
    ll mid = low + (high-low)/2;
    if (f(mid) < k)
        low = mid+1;
    else
        high = mid;
}

注意低永远不会>高，所以当它们相等时停止，我们不会试图在途中抓住ans。反而在最后低==高==答案

比赛规定时限为 1 秒。在我的电脑上，你的代码在不到一秒的时间内就解决了最大尺寸问题。但我不确定评判电脑有那么快。

编辑：int 对于问题的最大大小来说太小了，所以你不能从 f:
返回 int n、m、i 分别适合 32 位，但 f() 的输入和输出以及 k、ret、low 和 high 都需要保存最大为 2.5e11 的整数

Answer 2

import java.util.*;
public class op {
    static int n,m;
    static long k;
    public static void main(String args[]){
        Scanner s=new Scanner(System.in);
        n=s.nextInt();
        m=s.nextInt();
        k=s.nextLong();
        long start=1;
        long end=n*m;
        long ans=0;
        while(end>=start){
            long mid=start+end;
            mid/=2;
            long fmid=f(mid);
            long gmid=g(mid);
            if(fmid>=k && fmid-gmid<k){
                ans=mid;
                break;
            }
            else if(f(mid)>k){
                end=mid-1;
            }
            else{
                start=mid+1;
            }
        }
        System.out.println(ans);

    }
    static long f (long val)
    {
        long ret = 0;
        for ( int i = 1; i <= n; i++ )
        {
            ret = ret + Math.min(val/i,m);
        }
        return ret;
    }
    static long g (long val)
    {
        long ret = 0;
        for ( int i = 1; i <= n; i++ )
        {
            if(val%i==0 && val/i<=m){
                ret++;
            }
        }
        return ret;
    }
    public static class Pair{
        int x,y;
        Pair(int a,int b){
            x=a;y=b;
        }
    }
}