如果我想求解一个完整上三角系统，我可以致电linsolve(A,b,'UT')。但是，稀疏矩阵目前不支持此功能。我该如何克服这个问题？
【问题讨论】：
full?
sparse 是有原因的。
标签： matlab linear-algebra sparse-matrix triangular
UT 和 LT 系统是最容易解决的系统之一。阅读on the wiki 了解它。知道了这一点，就很容易编写自己的 UT 或 LT 求解器：
%# some example data
A = sparse( triu(rand(100)) );
b = rand(100,1);
%# solve UT system by back substitution
x = zeros(size(b));
for n = size(A,1):-1:1
x(n) = (b(n) - A(n,n+1:end)*x(n+1:end) ) / A(n,n);
end
LT 系统的过程非常相似。
话虽如此，使用Matlab的反斜杠运算符通常更容易和更快：
x = A\b
这也适用于备件矩阵，正如 nate 已经指出的那样。
请注意，此运算符还解决了具有非正方形 A 或 A 在主对角线上有一些元素等于零（或 < eps）的 UT 系统。它以最小二乘的方式解决了这些情况，这可能对您来说是可取的，也可能不是您想要的。您可以在执行求解之前检查这些情况：
if size(A,1)==size(A,2) && all(abs(diag(A)) > eps)
x = A\b;
else
%# error, warning, whatever you want
end
通过键入了解更多关于（反）斜杠运算符的信息
>> help \
或
>> help slash
在 Matlab 命令提示符下。
【讨论】：
mldivide)，而 / 是斜杠或右除 (mrdivide)。
slash 表示\，即backslash。只是为了挑剔;）
help backslash了吗？你会得到一个错误。输入help slash，您将获得所有（反）斜杠运算符的信息:)
编辑由于您需要的是三角求解过程，也称为后向/前向替换，因此您可以使用普通的 MATLAB 反斜杠 \ 运算符：
x = U\b
如原始答案中所述，MATLAB 将识别出您的矩阵是三角形的事实。为了确定这一点，您可以将性能与SuiteSparse 中的cs_usolve 过程进行比较。它是一个用 C 语言实现的 mex 函数，用于计算上三角稀疏矩阵的稀疏三角求解（那里也有类似的函数：cs_lsolve、cs_utsolve 和 cs_ltsolve）。
您可以查看原生 MATLAB 的 performance comparison 和稀疏 Cholesky 分解上下文中的 cs_l(t)solve。从本质上讲，MATLAB 性能很好。唯一的陷阱是如果你想解决一个转置系统
x = U'\b
MATLAB 确实不识别并显式创建U 的转置。在这种情况下，您应该明确调用 cs_utsolve。
原始答案如果您的系统是对称的并且您只存储上三角矩阵部分（这就是我在您的问题中理解 full 的方式），并且如果 Cholesky 分解是适合你，chol 处理对称矩阵，如果你的矩阵是正定的。对于不定矩阵，您可以使用ldl。两者都处理稀疏存储并处理对称矩阵部分。
较新的 matlab 版本为此使用 cholmod and suitesparse。这是迄今为止我所知道的表现最好的 Cholesky 分解。在 matlab 中，它也使用并行 BALS 进行并行化。
你从上述函数中得到的因子是上三角矩阵 L 使得
A=LL'
您现在需要做的就是执行前向和后向替换，这既简单又便宜。在 matlab 中，这是在反斜杠运算符中自动完成的
x=L'\(L\b)
矩阵可以是稀疏的，matlab 会识别出它是上三角/下三角。您还可以将此调用与前向替换一起使用通过 cholesky 分解获得的因子。
【讨论】：
A = triu(...)（完整）vs A = sparse(triu(...))（稀疏）
您可以在稀疏矩阵上使用 MLDIVIDE( \ ) 或 MRDIVIDE( / ) 运算符...
【讨论】：