切割一根棍子，使成本最小化答案

【问题标题】：Cutting a stick such that cost is minimized切割一根棍子，使成本最小化
【发布时间】：2020-03-18 23:07:49
【问题描述】：

你必须把一根长度为l 的棍子切成几块。片段的长度必须为a1, ..., an，其中ai 是一个整数。切割的成本等于制作它的棍子的长度。设计一个算法，找到这种切割到n 件的最小可能价格。例如，考虑一根长度为15 的棍子和所需的长度为1, 2, 3, 4, 5。你可以按照给定的顺序剪断木棍。第一次切割将花费15，因为棍子的长度为15。第二次切割将花费14，因为进行切割的剩余木棍长度为 15 - 1 = 14。第三次切割将花费 12，因为剩余木棍的长度为 14 - 2 = 12。最后一次切割将花费 9，因为剩余木棍的长度是 12 - 3 = 4 + 5 = 9。总成本为 15 + 14 + 12 + 9 = 50。

但是如果我们以更好的顺序进行切割，例如先切割长度 9，然后再切割长度 4 和 5。或者，如果我们在第一次切割时切割长度 8 以获得第二次切割的长度 3 + 5，我们会发现切割所有 5 件的最小成本是 33。

设计一个算法来找到最低价格。

这个问题类似于问题：Optimally cutting a stick at specified locations

但请注意，订单不变对我来说并不重要。

该算法应该适用于相当高的n，例如500000。因此，任何枚举所有子集的解决方案对我来说都是不利的。

我想到的第一件事是将输入分成两个总和大致相同的子集。但我相信这是 NP 难题，我不确定它是否能让我找到这个问题的最佳解决方案。

【问题讨论】：

如果你要达到 n = 500,000，那么你应该在 O(n log n) 或更好的时间内寻找一个贪心算法。由于这是关于切入的顺序，因此对列表进行排序可能是有用的第一步。
这能回答你的问题吗？ Cutting a stick such that cost is minimized
不一样 - 另一个问题指定了必须在棍子上进行切割的位置，而这个问题只是指定切割后所得零件的长度。
@Prune 这是一个例子，表明它们确实不同。使用长度为 15 的棍子并在 5, 12 处切割，您应该在 5 处切割，然后在 12. The similar lengths question of lengths 3、5、7 处切割，您应该在 8 处切割，然后在 3 处切割。
没有我的眼镜，这看起来像霍夫曼。

标签： arrays algorithm dynamic-programming complexity-theory

【解决方案1】：

我没有证据证明这是最优的，但我怀疑它是最优的。

put your sticks into a priority queue
while len(queue) > 1:
    take 2 smallest sticks out of queue
    merge them (record the cost)
    put the merged stick back in the queue

在您的示例中，它结合了1, 2。然后结合(1,2), 3。然后结合4, 5。然后合并(4,5), (1,2,3)，总成本为33。反过来，我们削减8，然后是4，然后是11，然后是9。

更新：@greybeard 评论说这看起来像 Huffman，我认识到这很简单，我不小心在这里实现了 Huffman 编码，所以这个解决方案是正确的。 :-)

现在我需要阅读霍夫曼编码最适合刷新我的记忆的证据...

【讨论】：

【解决方案2】：

我认为你应该尽量减少下一次削减的成本。做到这一点的一个好方法是更快地摆脱更大的碎片。因此，首先我们可以使用总切割尺寸，即总尺寸，然后去除较大的碎片。

def get_min_costs_sorted(stick, pieces):
    if len(pieces) == 1:
        return 0
    piece = pieces[0]
    print("Cutting {} into {}-{}".format(stick, piece, stick - piece))
    return stick + get_min_costs_sorted(stick - piece, pieces[1:])

def get_min_costs(stick, pieces):
    pieces.sort(reverse=True)
    total = sum(pieces)
    if stick > total:
        print("Cutting {} into {}-{}".format(stick, total, stick - total))
        return stick + get_min_costs_sorted(total, pieces)
    else: # no cutting
        return get_min_costs_sorted(total, pieces)

【讨论】：