在Python中生成欧几里得范数<= 1的随机向量？答案

【问题标题】：Generating random vectors of Euclidean norm <= 1 in Python?在Python中生成欧几里得范数<= 1的随机向量？
【发布时间】：2016-10-01 08:40:03
【问题描述】：

更具体地说，给定一个自然数 d，我如何在 R^d 中生成随机向量，使得每个向量 x 都具有欧几里得范数

通过 numpy.random.rand(1,d) 生成随机向量是没有问题的，但是对于不小的 d，这种具有 norm

编辑：回复：沃尔特的评论，是的，我正在寻找 R^d 中单位球中向量的均匀分布。

【问题讨论】：

您还应该定义您期望的概率分布。我猜是欧几里得空间中的均匀。
您可以根据约束减少后续数字的空间。对于最基本的情况，如果 d=2，并且第一个数字是 0.4，则在区间 [0, sqrt(1-0.4**2)] 中生成第二个？
@ayhan：这会不会使得最后几个维度不太可能是高数字（因为这需要所有以前的维度都很小），从而损害随机性？
"几乎所有的高维空间都离中心“很远”。换句话说，高维单位超立方体可以说几乎完全由“角”组成超立方体的，几乎没有“中间”——en.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality
@lamb_da_calculus 你是对的，第一个数字不应该来自均匀分布。

标签： python numpy random

【解决方案1】：

这是我正在使用的 Python / Numpy 代码。由于它不使用循环，因此速度更快：

n_vectors=1000
d=2

rnd_vec=np.random.uniform(-1, 1, size=(n_vectors, d))                # the initial random vectors
unif=np.random.uniform(size=n_vectors)                               # a second array random numbers
scale_f=np.expand_dims(np.linalg.norm(rnd_vec, axis=1)/unif, axis=1) # the scaling factors
rnd_vec=rnd_vec/scale_f                                              # the random vectors in R^d

需要第二个随机数数组 (unif) 作为第二个缩放因子，否则所有向量的欧几里得范数都等于 1。

【讨论】：

【解决方案2】：

根据 user2357112 的回答，你需要这样的东西：

import numpy as np
...
inv_d = 1.0 / d
for ...:
    gauss = np.random.normal(size=d)
    length = np.linalg.norm(gauss)
    if length == 0.0:
        x = gauss
    else:
        r = np.random.rand() ** inv_d
        x = np.multiply(gauss, r / length)
        # conceptually: / length followed by * r
    # do something with x

（这是我的第二个 Python 程序，所以不要对我开枪……）

技巧是这样的

具有相同 σ 的 d 个独立高斯变量的组合是 d 维的高斯分布，具有显着的球对称性，
d 维的高斯分布可以通过除以范数投影到单位球面上，并且
d 维单位球体中的均匀分布具有累积径向分布 r^d（这就是你的 need to invert）

【讨论】：

【解决方案3】：

根据 Wolfram Mathworld 关于hypersphere point picking 和Nate Eldredge's answer 的文章与math.stackexchange.com 上的类似问题，您可以通过生成d 独立高斯随机变量和随机数的向量来生成这样的向量U 均匀分布在闭区间 [0, 1] 上，然后将向量归一化为范数 U^(1/d)。

【讨论】：

@WalterTross：确实，这就是为什么我们有第二步来修复规范。