在阶乘中查找具有 n 个尾随零的自然数

Question

我需要帮助解决以下问题。

给定一个整数m，我需要找到正整数n的个数和整数，使得n的阶乘以正好结束> m 零。

我编写了这段代码，它工作正常并且我得到了正确的输出，但是随着数字的增加，它花费了太多时间。

a = input()

while a:
 x = []
 m, n, fact, c, j = input(), 0, 1, 0, 0
 z = 10*m
 t = 10**m

 while z - 1:
  fact = 1
  n = n + 1   

  for i in range(1, n + 1):
     fact = fact * i

  if fact % t == 0 and ((fact / t) % 10) != 0:
     x.append(int(n))
     c = c + 1

  z = z - 1

 for p in range(c):
  print x[p],

 a -= 1
 print c

有人可以建议我一种更有效的方法来做到这一点。目前，一个测试用例要求在其阶乘中以 250 尾随零的数字需要 30 秒。

谢谢

Answer 1

要获得n!的尾随零的数量有效你可以放

def zeroes(value):
    result = 0;

    d = 5;

    while (d <= value): 
        result += value // d; # integer division
        d *= 5;

    return result; 

...

# 305: 1234! has exactly 305 trailing zeroes 
print zeroes(1234) 

为了解决问题（n 在n! 中的尾随零），您可以使用以下事实：

• 零的数量是一个单调函数：f(x + a) >= f(x) if a >= 0。
• 如果f(x) = y 然后x <= y * 5（我们只计算5 因素）。
• 如果f(x) = y 然后x >= y * 4（让我把这个留给你证明）

然后实现二分查找（关于单调功能）。

例如在250 为零的情况下，我们有初始范围来测试[4*250..5*250] == [1000..1250]。二进制搜索将范围缩小到[1005..1009]。

1005, 1006, 1007, 1008, 1009 都是数字，因此它们在阶乘中恰好具有 250 训练零

编辑如果我（2 年后）证明最后一个猜想（见下面的 cmets），我希望不会破坏乐趣：

因子中的每个5**n 乘以2**n 会产生10**n，因此n 为零；这就是为什么f(x) 是

f(x) = [x / 5] + [x / 25] + [x / 125] + ... + [x / 5**n] + ...

其中[...] 代表floor 或整数部分（例如[3.1415926] == 3）。让我们执行简单的操作：

f(x) = [x / 5] + [x / 25] + [x / 125] + ... + [x / 5**n] + ... <= # removing [...]
        x / 5  +  x / 25  +  x / 125  + ... +  x / 5**n  + ... =
        x * (1/5 + 1/25 + 1/125 + ... + 1/5**n + ...) =
        x * (1/5 * 1/(1 - 1/5)) =
        x * 1/5 * 5/4 =
        x / 4

到目前为止一切顺利

 f(x) <= x / 4 

或者如果y = f(x) 那么x >= 4 * y Q.E.D.

Answer 2

关注构成数字的 2 和 5 的数量。例如150 由 2*3*5*5 组成，有 1 对 2&5，所以后面有一个零。每次增加测试数字时，尝试计算数字中有多少 2 和 5。由此，将先前的结果相加，您可以轻松知道其阶乘包含多少零。

例如15!=15*...*5*4*3*2*1，从2开始：

Number   2s  5s  trailing zeros of factorial
2        1   0   0
3        1   0   0
4        2   0   0
5        2   1   1
6        3   1   1
...
10       5   2   2
...
15       7   3   3
..
24      12   6   6
25      12   8   8   <- 25 counts for two 5-s: 25 == 5 * 5 == 5**2
26      13   8   8 
..   

参考 Peter de Rivaz 和 Dmitry Bychenko 的 cmets，他们有一些很好的建议。