Monoid vs MonadPlus [重复]

Question

我对@9​​87654325@ 和Monoids 都很陌生，最近还了解了MonadPlus。在我看来，Monoid 和MonadPlus 都提供了一个具有关联二元运算和标识的类型。 （用数学术语我称之为半群。）那么Monoid 和MonadPlus 之间有什么区别？

Answer 1

semigroup 是一个配备关联二元运算的结构。 monoid 是一个带有用于二元运算的单位元的半群。

单子和半群

每个 monad 都必须遵守 the monad laws。对于我们的例子，重要的是结合律。用>>=表示：

(m >>= f) >>= g     ≡   m >>= (\x -> f x >>= g)

现在让我们应用这个定律来推断>> :: m a -> m b -> m b 的关联性：

(m >> n) >> p       ≡ (m >>= \_ -> n) >>= \_ -> p
                    ≡ m >>= (\x -> (\_ -> n) x >>= \_ -> p)
                    ≡ m >>= (\x -> n >>= \_ -> p)
                    ≡ m >>= (\x -> n >> p)
                    ≡ m >> (n >> p)

（我们选择了x，这样它就不会出现在m、n 或p 中）。

如果我们将>> 特化为m a -> m a -> m a 类型（用b 代替a），我们会看到对于任何类型a，操作>> 在m a 上形成一个半群. 因为任何a 都成立，所以我们得到了一个由a 索引的半群类。但是，它们通常不是幺半群——我们没有>> 的标识元素。

MonadPlus 和幺半群

MonadPlus 增加了两个操作，mplus 和 mzero。 MonadPlus laws 明确声明 mplus 和 mzero 必须在 m a 上形成一个幺半群，以获得任意 a。再次，我们得到了由a 索引的类幺半群。

注意MonadPlus 和Monoid 之间的区别：Monoid 表示某些单一类型满足幺半群规则，而MonadPlus 表示对于所有可能的a 类型m a 满足幺半群规则。这是一个更强大的条件。

所以MonadPlus 实例形成了两种不同的代数结构：一类具有>> 的半群和一类具有mplus 和mzero 的幺半群。 （这并不少见，例如大于零的自然数集{1,2,...} 与+ 形成一个半群，与× 和1 形成一个幺半群。）

Answer 2

如果我们有 MonadPlus m 成立，那么你会说 m 是 Monad，但 m a（将 a 应用于类型“函数”m 产生的类型）是幺半群。

如果我们定义（类似于Data.Monoid的定义，但我们稍后会用到）

class                Semigroup a where  (<>) :: a -> a -> a
class Semigroup a => Monoid    a where  zero :: a

那么它有

mzero :: MonadPlus m => m a
mplus :: MonadPlus m => m a -> m a -> m a

具有相当相似的类型和适当的法律

-- left and right identity
mplus a     mzero   ==   a
mplus mzero a       ==   a

-- associativity
(a `mplus` b) `mplus` c   ==   a `mplus` (b `mplus` c)

如果我们使用-XFlexibleInstances，我们甚至可以定义一个Haskell Monoid

{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}
instance MonadPlus m => Semigroup (m a) where  (<>) = mplus
instance MonadPlus m => Monoid    (m a) where  zero = mzero

尽管这些与Data.Monoid 中的实例严重重叠，这可能就是它不是标准实例的原因。

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像这样的幺半群的另一个例子是来自Control.Applicative 的Alternative m => m a。

Answer 3

我必须强调非常重要的区别：与 Monoid 不同，与其他答案状态不同，MonadPlus 确实不提供具有关联二元运算和标识的类型。 Haskell 报告是唯一可以声称标准状态的文档，它没有指定 MonadPlus 的法律，因此不需要 mplus 是关联的或 mzero 成为它的左或右单位。也许作者们仍在争论这些法律：mplus 有很好的理由不具有关联性。例如，如果 mplus 是关联但不可交换的，那么 MonadPlus 所代表的非确定性搜索计算就不能完成（即存在我们找不到的解）。由于 mplus 是可交换的非常罕见，如果我们坚持关联性，任何完整的非确定性搜索过程都不能用 MonadPlus 表示。已经详细讨论了 SC 上的 MonadPlus 法律这个问题：Must mplus always be associative