布尔矩阵中的高效动态规划矩形查询答案

【问题标题】：Efficient Dynamic Programming rectangular queries in a boolean matrix布尔矩阵中的高效动态规划矩形查询
【发布时间】：2014-01-25 08:06:59
【问题描述】：

请任何人建议一种动态编程方法来解决 SPOJ 问题“标准问题”，链接：-http://www.spoj.com/problems/ASTDPROB/

问题陈述：给定一个大小为 NXM 的布尔矩阵。对于所有类型为 int 低、高的 Q 查询的答案，找到只有零且位于编号为低和高的行之间的最大区域子矩形。

1 ≤ N, M ≤ 1000 
1 ≤ Q  ≤ 10^6

我需要一个 O(n^2) 或 O(n^2 * log n) dp 算法。

直到我的方法是这样的

请对第二步提出任何优化建议？

任何有更有效方法的人，也请分享。

提前致谢。

【问题讨论】：

这可能是 stackoverflow.com/questions/20937580/… 的副本。此外，第一步可以通过分而治之更快地完成，我认为它也可以与第二步相结合。
请详细说明@M Oehm 的解决方案如何帮助回答问题。也请分享您结合步骤 1 和步骤 2 的方法。
@rostok 你能说出你的想法吗？
对不起。我想提出与 M Oehm 类似的涉及递归搜索的建议，但由于我们不知道 1 的数量，Lukasz 的想法更可预测。请注意，您可以有两种算法并根据输入中 1 的数量执行它们。
你的意思是当数量很大时，Lukasz 的想法更好，因为直方图的高度更小。当矩阵稀疏时，M ohem 的算法是正确的。我说的对吗？

【解决方案1】：

设M 为0s 和1s 的矩阵。

计算一个矩阵S，其中S[k][l]' is the number of consecutive zeros up fromM[k][l]`。这将花费 O(n^2)。

现在对于给定的查询(lo,hi)，您可以从lo 行转到hi 行。对于每一行line，通过以下方式找到从line 到hi 的最大矩形： - 通过S[line] 使用指针p 并跟踪可能的高度。

例如，假设S[line] = [1,2,2,1,5,6,9,2,1,4]。当p = 5 时，您应该有一个元组列表，例如： W = [0,4,5] 并由此您可以计算在p==6 处完成的矩形的大小：

max(S[line][W[0]], hi-lo+1) * (p-W[0] + 1) = 6
max(S[line][W[1]], hi-lo+1) * (p-W[1] + 1) = 10
max(S[line][W[2]], hi-lo+1) * (p-W[2] + 1) = 6

编辑：嗯，似乎有更复杂的解决方案，至少在计算 S 之后。您可以将其视为问题 H 来自：

编辑：如何使用直方图的想法。

让M具有如下结构

那么S 可以自下而上计算，在这种情况下是

现在要找到一个从某条线开始直到结束的矩形，我们使用“直方图问题”。对于第二行，我们有：3230330310，这对应于表单的直方图

X X XX X  
XXX XX X  
XXX XX XX

在这里找到最大的矩形给出了起始问题中最大的矩形。

复杂性：O(n) - 直方图算法。现在，对于每个查询，我们最多检查n 行，我们有q 查询，所以：O(n^2 q)

【讨论】：

请在这里给出一些如何使用直方图问题的想法。还有关于你的解决方案。 1.我认为您正在尝试计算矩形的最大可能边。 2.每个查询都消耗 O(n^2) 时间，通过记忆，我们可以在 O(n^3) 时间内完成所有查询，但仍然很慢。
好的。现在我明白了，还有一件事，同样使用 dp 我们可以通过创建矩阵 [N][N] 在 O(nq) 时间内回答，但它仍然意味着大约 10 ^9 超出时间限制的操作。是否可以在 O(q log n) 内完成。谢谢你这么好地清除了我的算法。
你可以实现this。它给出 O(qn log^3 n)。