具有最佳时间复杂度的搜索算法

Question

给定以下数据：

[4]
[5,  8]
[9,  12, 20]
[10, 15, 23, 28]
[14, 19, 31, 36, 48]
[15, 22, 34, 41, 53,  60]
[19, 26, 42, 49, 65,  72,  88]
[20, 29, 45, 54, 70,  79,  95,  104]
[24, 33, 53, 62, 82,  91,  111, 120, 140]
[25, 36, 56, 67, 87,  98,  118, 129, 149, 160]
[29, 40, 64, 75, 99,  110, 134, 145, 169, 180, 204]
[30, 43, 67, 80, 104, 117, 141, 154, 178, 191, 215, 228]
[34, 47, 75, 88, 116, 129, 157, 170, 198, 211, 239, 252, 280]
[35, 50, 78, 93, 121, 136, 164, 179, 207, 222, 250, 265, 293, 308]
[Etc.]

对于查找给定数字，具有最佳时间复杂度的最佳搜索算法可能是什么？

• 行已排序
• 列已排序
• 一个数字可能出现多次

额外信息：

假设我们正在寻找数字 26：

• 由于顺序，这意味着我们可以消除前 3 行和右侧的剩余列。

• 由于顺序，这也意味着我们可以忽略 row=11 之后的每一行。

结果如下：

[10, 15, 23]
[14, 19, 31]
[15, 22, 34]
[19, 26, 42]
[20, 29, 45]
[24, 33, 53]
[25, 36, 56]
[29, 40, 64]

我当前的算法的时间复杂度为 O(x log(y))，其中 x 是列的数量，y 是每列的二分搜索算法的大小。

我正在寻找更快的东西，因为我要处理大量数据。

目前我在每一列上都使用 BST，但我也可以在行上使用 BST 吗？可能实现 O(log(x) log(y))？

Answer 1

可以在O(x)完成

让我们将要查找的元素称为 n

从左下角的元素开始。

对于我们搜索的每个元素（我们称之为 e）：

1. 如果 e == n：我们找到了

2. 如果 e

理由：

e 左边的所有元素，包括 e 所在的列，都小于 e。那些元素不能 == n 并且可以被消除。

1. 如果 e > n：向上移动

理由：

所有低于e的元素都大于e，可以排除。那么 e 左边小于 e 的值呢？那些不能是== n吗？不。对于 e 向右移动并在其左侧有值，这些值将在第 2 步中已被消除

重复直到找到 n 或索引超出范围，在这种情况下这样的元素不存在。

时间复杂度：

最坏的情况是如果元素不在数组中并且我们的索引超出范围。这发生在主对角线上，向右的总距离和到长对角线上任何元素的总距离总和为x。

Answer 2

您可以通过对第一列的二进制搜索找到修剪后数组的左下角，通过对每行最后一列的二进制搜索找到右上角。

从那里，问题退化为How do I search for a number in a 2d array sorted left to right and top to bottom?，这在链接问题中得到了充分研究。最佳算法取决于结果的形状。