如何在有条件的情况下计算 3d 网格中从一个点到另一个点的所有路径

Question

鉴于输入 xm, ym,h 我必须在 3d 网格中找到从点 (1,0,1) 到 (xm, ym, 1) 的所有路径，例如：

1. 从 (x,y,z) 可能的移动是 (x+1, y, z), (x+1, y+1, z), (x+1, y-1, z)

2. 如果 z

3. 如果 z > 1 更多可能的移动也是 (x+1, y, z-1), (x+1, y+1, z-1),(x+1, y-1, z-1)

我想出了一个适用于 z = 1 的算法，但我不确定如何使它适用于 z 的其他值。任何帮助将不胜感激。

llong countPaths3(int xm, int ym, int h) {
    std::pair<int,int> pair1 = {1,0};
    std::map<std::pair<int,int>, llong> map1;
    map1.insert({pair,1});
    int starty = -1;
    int endy = 1;
    llong value = 0;
        for(int x = 2; x <= xm; x++) {
            for(int y = starty; y <= endy; y++)
            {
                if (map1.count({x, y}) == 0) {
                    value = map1[{x - 1, y}] + map1[{x - 1, y + 1}] + map1[{x - 1, y - 1}];
                }

                map1[{x, y}] = value;
            }
            starty--;
            endy++;
        }
        return map1[{xm,ym}];
}

Answer 1

虽然这个问题可以组合解决，但也可以使用Dynamic Programming 来解决，时间和内存复杂度为O(xm * ym * h)。

考虑一个 3d 数组，其中数组中索引i, j, k 处的每个点表示从(1, 0, 1) 到(i, j, k) 的方法数，我们希望找到索引(xm, ym, 1) 处的值。

我们需要开始填充数组，
首先填充x = 1层，除了(1, 0, 1)的值为1之外，有0种方法可以到处获取。
第二次填充x = 2层，除了(2, 0, 1)、(2, 1, 1)、(2, 0, 2)的值为1之外，有0种方法可以到处获取。
然后填充下一层，以及它上面的一层，依此类推，直到到达xmth 层-此时您已完成。
填写索引(i, j, k)的通用公式为：

A[i, j, k] = 
A[i-1, j-1, k-1] + A[i-1, j-1, k-1] + A[i-1, j-1, k-1] + 
A[i-1, j, k]     + A[i-1, j, k]     + A[i-1, j, k]     + 
A[i-1, j+1, k+1] + A[i-1, j+1, k]   + A[i-1, j+1, k+1]

如前所述 - 使用此公式填充数组需要 O(xm * ym * h) 的时间和内存复杂度。

不要忘记检查边缘情况并手动填充第一层。

祝你好运。