Java：双机ε不是最小的x，使得1 + x！= 1？

Question

我正在尝试确定 Java 中的 double machine epsilon，使用它的定义是最小的可表示 double 值 x 这样 1.0 + x != 1.0，就像在 C/C++ 中一样。根据维基百科，这台机器 epsilon 等于 2^-52（其中 52 是 double 尾数位的数量 - 1）。

我的实现使用了Math.ulp() 函数：

double eps = Math.ulp(1.0);
System.out.println("eps = " + eps);
System.out.println("eps == 2^-52? " + (eps == Math.pow(2, -52)));

结果如我所愿：

eps = 2.220446049250313E-16
eps == 2^-52? true

到目前为止，一切都很好。但是，如果我检查给定的eps 确实是最小的 x 使得1.0 + x != 1.0，似乎有一个更小的，也就是previous @ 987654334@值根据Math.nextAfter()：

double epsPred = Math.nextAfter(eps, Double.NEGATIVE_INFINITY);
System.out.println("epsPred = " + epsPred);
System.out.println("epsPred < eps? " + (epsPred < eps));
System.out.println("1.0 + epsPred == 1.0? " + (1.0 + epsPred == 1.0));

产量：

epsPred = 2.2204460492503128E-16
epsPred < eps? true
1.0 + epsPred == 1.0? false

正如我们所见，我们有一个小于机器的 epsilon，它加到 1 后得到的不是 1，这与定义相矛盾。

那么根据这个定义，机器 epsilon 的普遍接受值有什么问题？还是我错过了什么？我怀疑浮点数学的另一个深奥方面，但我看不出我哪里出错了......

编辑：感谢评论者，我终于明白了。我实际上使用了错误的定义！ eps = Math.ulp(1.0) 计算到最小可表示双精度 > 1.0 的距离，但是——这就是重点——eps 不是最小的 x 和 1.0 + x != 1.0，而是大约 两倍 该值：将 1.0 + Math.nextAfter(eps/2) 添加到 向上 到 1.0 + eps。

Answer 1

使用它的定义是最小的可表示双精度值 x 使得 1.0 + x != 1.0，就像在 C/C++ 中一样

这从来就不是定义，不是在 Java 中，也不是在 C 中，也不是在 C++ 中。

定义是机器epsilon是1到大于1的最小float/double之间的距离。

你的“定义”是wrong by a factor of nearly 2。

此外，strictfp 的缺失仅允许更大的指数范围，并且不应对 epsilon 的经验测量产生任何影响，因为它是根据 1.0 及其后继计算得出的，其中每一个以及它们的差异可以用标准指数范围来表示。

Answer 2

我不确定您的实验方法/理论是否合理。 Math 类的文档说明：

对于给定的浮点格式，特定实数值的 ulp 是包围该数值的两个浮点值之间的距离

ulp 方法的文档说：

双精度值的 ulp 是该浮点值与幅度下一个更大的双精度值之间的正距离

因此，如果您想要最小的 eps 值，例如 1.0 + eps != 1.0，那么您的 eps 通常应该小于 Math.ulp(1.0)，因为至少对于任何大于 Math.ulp(1.0) / 2 的值，结果将向上取整。

我认为最小的这样的值将由Math.nextAfter(eps/2, 1.0) 给出。