这更像是一个数值分析而不是编程问题，但我想你们中的一些人能够回答它。
在两个浮点数的和中，是否有任何精度损失？为什么？
在浮点数和整数的和中，是否有任何精度损失？为什么？
谢谢。
【问题讨论】：
标签： precision floating-accuracy
两个浮点数相加，有没有精度损失？
如果两个浮点数的大小不同，并且都使用完整的精度范围（大约 7 个十进制数字），那么是的，您会在最后几个位置看到一些损失。
为什么？
这是因为浮点数以 (sign) (mantissa) × 2(exponent) 的形式存储。如果两个值具有不同的指数并且您将它们相加，那么较小的值将减少到尾数中的较少位数（因为它必须适应较大的指数）：
PS> [float]([float]0.0000001 + [float]1)
1
在浮点数和整数的和中，是否有任何精度损失？
是的，一个普通的 32 位整数能够准确地表示不完全适合浮点数的值。浮点数仍然可以存储大约相同的数字，但不再精确。当然，这只适用于足够大的数字，即。 e.超过 24 位。
为什么？
因为 float 有 24 位精度，而（32 位）整数有 32 位。float 仍然能够保留幅度和大部分有效数字，但最后的位置可能会有所不同：
PS> [float]2100000050 + [float]100
2100000100
【讨论】：
精度取决于原始数字的大小。在浮点中，计算机内部将数字 312 表示为科学计数法：
3.12000000000 * 10 ^ 2
左侧的小数位（尾数）是固定的。指数也有上限和下限。这允许它表示非常大或非常小的数字。
如果你尝试将两个大小相同的数字相加，结果应该保持相同的精度，因为小数点不必移动：
312.0 + 643.0 <==>
3.12000000000 * 10 ^ 2 +
6.43000000000 * 10 ^ 2
-----------------------
9.55000000000 * 10 ^ 2
如果您尝试添加一个非常大和非常小的数字，您会失去精度，因为它们必须被压缩成上述格式。考虑 312 + 12300000000000000000000。首先，您必须缩放较小的数字以与较大的数字对齐，然后添加：
1.23000000000 * 10 ^ 15 +
0.00000000003 * 10 ^ 15
-----------------------
1.23000000003 <-- precision lost here!
浮点数可以处理非常大或非常小的数字。但它不能同时代表两者。
对于int和double的加法，int会立即变成double，那么上面的适用。
【讨论】：
两个浮点数相加时，一般会出现一些错误。 D. Goldberg 的"What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic" 详细描述了效果和原因，以及如何计算误差的上限，以及如何推断更复杂计算的精度。
整数加浮点数时，C++先将整数转换为浮点数，所以加了两个浮点数，同上原因引入错误。
【讨论】：
float 可用的精度是有限的，所以当然总是存在任何给定操作降低精度的风险。
您的两个问题的答案都是“是”。
如果您尝试将一个非常大的浮点数添加到一个非常小的浮点数，例如，您会遇到问题。
或者，如果您尝试将整数添加到浮点数，其中整数使用的位数比浮点数可用于其尾数的位数更多。
【讨论】：
简短的回答：计算机表示一个位数有限的浮点数，这通常用mantissa and exponent完成，因此只有几个字节用于有效数字，其他用于表示位置小数点。
如果您尝试添加（例如）10^23 和 7，那么它将无法准确地表示该结果。类似的论点适用于添加浮点数和整数 - 整数将被提升为浮点数。
【讨论】：
在两个浮点数的和中，是否有任何精度损失？ 在浮点数和整数的总和中，是否有任何精度损失？为什么？
并非总是如此。如果总和可以用您要求的精度表示，并且您不会得到任何精度损失。
示例：0.5 + 0.75 => 没有精度损失 x * 0.5 => 没有精度损失（除非 x 太小）
在一般情况下，添加浮点数的范围略有不同，因此存在精度损失，这实际上取决于舍入模式。 即：如果您要添加范围完全不同的数字，则会出现精度问题。
非正规函数在极端情况下可以提供额外的精度，但会消耗 CPU。
根据编译器处理浮点计算的方式，结果可能会有所不同。
在严格的 IEEE 语义下，添加两个 32 位浮点数不应提供比 32 位更好的精度。 在实践中，可能需要更多指令来确保这一点，因此您不应依赖浮点的准确且可重复的结果。
【讨论】：
在这两种情况下都是：
assert( 1E+36f + 1.0f == 1E+36f );
assert( 1E+36f + 1 == 1E+36f );
【讨论】：
float + int 的情况与 float + float 相同，因为标准转换应用于 int。在 float + float 的情况下，这取决于实现，因为实现可能会选择以双精度进行加法。当然，存储结果时可能会有一些损失。
【讨论】：
在这两种情况下，答案都是“是”。将int 添加到float 时，整数会在添加之前转换为浮点表示。
要了解原因，我建议您阅读此 gem：What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic。
【讨论】：