浮点数的 PI 和精度答案

【问题标题】：PI and accuracy of a floating-point number浮点数的 PI 和精度
【发布时间】：2010-10-05 04:51:25
【问题描述】：

Pi 的单/双/扩展精度浮点表示精确到小数位数？

【问题讨论】：

如果不告诉您您使用的是哪种语言以及您从哪里获得 PI，就无法回答这个问题？您使用的是常量还是库函数？
或者你的意思是时间序列数据库PI
你可能想看看exploringbinary.com/pi-and-e-in-binary

标签： floating-point precision floating-accuracy

【解决方案1】：

#include <stdio.h>

#define E_PI 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062

int main(int argc, char** argv)
{
    long double pild = E_PI;
    double pid = pild;
    float pif = pid;
    printf("%s\n%1.80f\n%1.80f\n%1.80Lf\n",
    "3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899",
    pif, pid, pild);
    return 0;
}

结果：

[quassnoi #] gcc --version
gcc (GCC) 4.3.2 20081105 (Red Hat 4.3.2-7)

[quassnoi #] ./test

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

3.14159274101257324218750000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
        ^
3.14159265358979311599796346854418516159057617187500000000000000000000000000000000
                 ^
3.14159265358979311599796346854418516159057617187500000000000000000000000000000000
                 ^
  0000000001111111
  1234567890123456

【讨论】：

有趣的测试......不幸的是，我敢打赌它依赖于各种系统：P
其实我说的是依赖math.h库。
当然，这就是我把 gcc --version 放在那里的原因
此测试对扩展精度结果无效，因为您的 pi 的#define 文字是双精度的。你需要它是一个扩展的精度文字。见this。
E_PI 必须有 L 后缀才能获得 long 双精度，否则会卡在双精度

【解决方案2】：

当我检查 Quassnoi 的答案时，我似乎怀疑 long double 和 double 最终会具有相同的准确性，所以我挖了一点。如果我运行他用 clang 编译的代码，我会得到与他相同的结果。但是我发现如果我指定 long double 后缀并使用文字来初始化 long double 它提供了更高的精度。这是我的他的代码版本：

#include <stdio.h>

int main(int argc, char** argv)
{
    long double pild = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899L;
    double pid = pild;
    float pif = pid;
    printf("%s\n%1.80f\n%1.80f\n%1.80Lf\n",
        "3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899",
        pif, pid, pild);
    return 0;
}

结果：

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

3.14159274101257324218750000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
        ^
3.14159265358979311599796346854418516159057617187500000000000000000000000000000000
                 ^
3.14159265358979323851280895940618620443274267017841339111328125000000000000000000
                    ^

【讨论】：

这似乎取决于编译器和架构：en.wikipedia.org/wiki/Long_double

【解决方案3】：

6位和14位。1位对3位大于0，最后一位虽然存储，但不能算精度点。

抱歉，如果没有更多上下文，我不知道扩展意味着什么。你是指 C# 的小数点吗？

【讨论】：

请参阅“IEEE754 的非正式描述”cse.ttu.edu.tw/~jmchen/NM/refs/story754.pdf
@Hrushikesh 链接已失效 :( 但我找到了working link。

【解决方案4】：

打印和计数，宝贝，打印和计数。（或阅读specs。）

【讨论】：

【解决方案5】：

浮点类型的准确性与 PI 或任何特定数字无关。它只取决于内存中存储了多少位特定类型。

在 IEEE-754 的情况下，float 使用 23 位尾数，因此它可以精确到 23+1 位精度，或十进制约 7 位精度。不管 π, e, 1.1, 9.87e9... 都以 24 位的形式存储在一个浮点数中。同样double（53位尾数）可以存储15~17位精度的十进制数字。

【讨论】：

你的逻辑/结论其实是不正确的。它与特定值相关；浮点的二进制表示具有固定数量的尾数位，但根据指数，其中一些位将用于表示整数部分或小数部分。一个有助于可视化这一点的示例：您将 pi 存储在 double 中，它将精确到小数点后 15 位（至少对于 Ubuntu 18 附带的 gcc，在英特尔核心 i5 上运行 --- 我相信它已映射IEEE-754）。你存储 1000*pi，它会精确到小数点后 12 位。
@Cal-linux 您误认为类型的精度与 执行操作后的错误。如果您执行1000*pi 并得到稍微不太准确的结果，这并不意味着精度降低了。你弄错了，因为你不明白什么是“有效位”，它不在小数点之后计算。事实上 1000*pi 只损失 1 位精度，仍然是 correct to the 15th digit of significand, not 12。你也混淆了'precision' and 'accuracy'?
如果你有精确的 1000pi 常数，而不是在运行时通过乘法来做，你仍然会得到 53 位的精度
你还是搞错了。浮点数的一个众所周知的方面是表示中的准确性/误差在整个范围内分布不均；您可以区分 0.1 和 0.1000001，但不能区分 10^50 和 (0.0000001 + 10^50)。 FP 将值存储为 x 乘以 2^_y_，其中 x 使用给定位数来表示 1 和 2 之间的值（或者是 0 和 1 之间的值？ ? 我现在忘记了），并且 y 的范围由分配给它的位数给出。如果y很大，则x的准确率大部分被整数部分消耗。
至于精确的 1000pi 作为常数 --- 你可能会得到相同的 53 位精度，但这不是线程的目的：你在开头得到相同的 16 个正确的十进制数字；但是现在这 16 个中的三个用于整数部分，3141 --- 小数位正确到 89793，与 pi 完全相同；除了在 pi 中，89793 中的 3 是小数点后第 15 位，而在 1000pi 中，它是小数点后第 12 位！

【解决方案6】：

在 x86 浮点单元 (x87) 中有用于加载某些浮点常量的指令。例如，“fldz”和“fld1”将 0.0 和 1.0 加载到堆栈顶部“st”（又名“st(0)”）。另一个是“fldpi”。

所有这些值都有一个 64 位长的尾数，可以转换为接近 20 个十进制数字。通过 x87 内部使用的 80 位临时浮点格式可以实现 64 位。 x87 也可以从 10 字节内存位置加载临时变量并将其存储到。

【讨论】：

【解决方案7】：

World of PI 的 PI 为 100,000,000,000 位，您可以打印和比较。对于更易于阅读的版本，Joy of PI 有 10,000 位数字。如果你想自己记住数字，你可以尝试学习Cadaeic Cadenza这首诗。

【讨论】：

【解决方案8】：

对于 C 代码，请查看 <float.h> 中的定义。这包括 float (FLT_*)、double (DBL_*) 和 long double (LDBL_*) 定义。

【讨论】：

【解决方案9】：

由于存在用于 pi 的二进制表示的筛方程，因此可以组合变量来存储值的片段以提高精度。此方法对精度的唯一限制是从二进制转换为十进制，但即使是有理数也会遇到问题。

【讨论】：

【解决方案10】：

* 编辑：查看此帖子了解最新讨论：Implementation of sinpi() and cospi() using standard C math library *

新的 math.h 函数 __sinpi() 和 __cospi() 为我解决了 90 度等直角的问题。

cos(M_PI * -90.0 / 180.0) returns 0.00000000000000006123233995736766
__cospi( -90.0 / 180.0 )      returns 0.0, as it should

/*  __sinpi(x) returns the sine of pi times x; __cospi(x) and __tanpi(x) return
the cosine and tangent, respectively.  These functions can produce a more
accurate answer than expressions of the form sin(M_PI * x) because they
avoid any loss of precision that results from rounding the result of the
multiplication M_PI * x.  They may also be significantly more efficient in
some cases because the argument reduction for these functions is easier
to compute.  Consult the man pages for edge case details.                 */
extern float __cospif(float) __OSX_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_9, __IPHONE_NA);
extern double __cospi(double) __OSX_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_9, __IPHONE_NA);
extern float __sinpif(float) __OSX_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_9, __IPHONE_NA);
extern double __sinpi(double) __OSX_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_9, __IPHONE_NA);
extern float __tanpif(float) __OSX_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_9, __IPHONE_NA);
extern double __tanpi(double) __OSX_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_9, __IPHONE_NA);

【讨论】：

__sinpi() 和 __cospi() 绝对不是标准函数。很容易看到，因为它们有 __ 前缀。搜索它们主要返回 macOS 和 iOS 的结果。这个问题说它是苹果Implementation of sinpi() and cospi() using standard C math library添加的，man page也说它在OSX中