整数除法总是等于正除法的下限吗？答案

【问题标题】：Is integer division always equal to the floor of regular division?整数除法总是等于正除法的下限吗？
【发布时间】：2019-05-22 07:49:54
【问题描述】：

对于大商，整数除法 (//) 似乎不一定等于正除法的下限 (math.floor(a/b))。

根据 Python 文档 (https://docs.python.org/3/reference/expressions.html - 6.7)，

整数的下除法得到一个整数；结果是数学除法的结果，“地板”函数应用于结果。

然而，

math.floor(648705536316023400 / 7) = 92672219473717632

648705536316023400 // 7 = 92672219473717628

'{0:.10f}'.format(648705536316023400 / 7) 产生“92672219473717632.0000000000”，但小数部分的最后两位应该是 28 而不是 32。

【问题讨论】：

如果从下面的答案中不清楚 - 问题是当文档用“数学除法”定义“地板除法”（//）时，术语“数学除法” not 是否引用 Python“部门”/。相反，“除法”/ 和“地板除法”// 是真（“数学”）除法的两个不同近似值。

标签： python integer division floating-accuracy integer-division

【解决方案1】：

Python 文档中的“数学除法”是指实数的精确除法。

现在，回到您关于整数除法（又名欧几里得除法）与浮点除法（比“正则除法”更好的术语）的问题，我在 2005 年研究了这个问题。我证明了四舍五入在基数 2 中最接近，如果 x-y 可精确表示，则浮点除法 x/y 的下限，即math.floor(x/y)，等于整数除法。您可以获取论文on my web site 或on HAL。

【讨论】：

【解决方案2】：

您的问题是，尽管“/”有时被称为“真正的除法运算符”并且它的方法名称是__truediv__，但它对整数的行为并不是“真正的数学除法”。相反，它会产生一个不可避免地具有有限精度的浮点结果。

对于足够大的数字，即使数字的整数部分也会出现浮点舍入错误。当 648705536316023400 转换为 Python 浮点数（IEEE 双精度）时，它会四舍五入为 648705536316023424¹。

我似乎无法找到有关当前 Python 中内置类型的运算符的确切行为的权威文档。引入该功能的原始 PEP 指出“/”相当于将整数转换为浮点数，然后执行浮点除法。然而，Python 3.5 中的快速测试表明情况并非如此。如果是，那么下面的代码将不会产生任何输出。

for i in range(648705536316023400,648705536316123400):
    if math.floor(i/7) != math.floor(float(i)/7):
        print(i)

但至少对我来说它确实产生了输出。

相反，在我看来，Python 正在对呈现的数字执行除法并将结果四舍五入以适合浮点数。以该程序输出为例。

648705536316123383 // 7                   == 92672219473731911
math.floor(648705536316123383 / 7)        == 92672219473731904
math.floor(float(648705536316123383) / 7) == 92672219473731920
int(float(92672219473731911))             == 92672219473731904

Python 标准库确实提供了 Fraction 类型，并且 Fraction 除以 int 的除法运算符执行“真正的数学除法”。

math.floor(Fraction(648705536316023400) / 7) == 92672219473717628
math.floor(Fraction(648705536316123383) / 7) == 92672219473731911

但是，您应该注意使用 Fraction 类型可能对性能和内存造成严重影响。请记住，分数可以增加存储需求而不会增加数量。

为了进一步测试我的“四舍五入对二”的理论，我使用以下代码进行了测试。

#!/usr/bin/python3
from fractions import Fraction
edt = 0
eft = 0
base = 1000000000010000000000
top = base + 1000000
for i in range(base,top):
    ex = (Fraction(i)/7)
    di = (i/7)
    fl = (float(i)/7)
    ed = abs(ex-Fraction(di))
    ef = abs(ex-Fraction(fl))
    edt += ed
    eft += ef
print(edt/10000000000)
print(eft/10000000000)

并且直接执行除法的平均误差幅度比先转换为浮点数要小得多，这支持了四舍五入对二的理论。

¹请注意，直接打印浮点数不会显示其确切值，而是显示将舍入到该值的最短十进制数（允许从浮点数到字符串并返回的无损往返转换漂浮）。

【讨论】：

【解决方案3】：

您的测试用例中的商不相等的原因是，在math.floor(a/b) 的情况下，结果是使用浮点运算（IEEE-754 64 位）计算的，这意味着存在最大精度。您拥有的商大于 2⁵³ 限制，超过该限制浮点不再精确到单位。

然而，对于整数除法，Python 使用其无限的整数范围，因此结果是正确的。

另见"Semantics of True Division" in PEP 238：

注意，对于 int 和 long 参数，真正的除法可能会丢失信息；这是真正除法的本质（只要语言中没有理性）。有意使用 long 的算法应考虑使用 //，因为 long 的真正除法保留不超过 53 位的精度（在大多数平台上）。

【讨论】：

直到 Python 将浮点除法称为“真正的除法”。浮点除法的定义是不精确的，而整数除法的定义是精确的； Python deliberately chose the name "true division" for the inexact version. Huh 太奇怪了。

【解决方案4】：

您可能正在处理的整数值太大而无法精确地表示为浮点数。您的数字明显大于 2^53，即where the gaps between adjacent floating point doubles start to get bigger than 1。所以在进行浮点除法时会丢失一些精度。

另一方面，整数除法是精确计算的。

【讨论】：