基于位表示理解机器精度

Question

我想了解这是如何计算的：

表示数字的计算机程序如下：1 位表示整体 符号，5 位用于指数，20 位用于尾数。显然我们需要使用偏差来表示正数和负数。基于此，我将如何计算机器精度和最大可能数？

Answer 1

假设您使用的是 IEEE 标准，数字表示的公式为：

number = sign*(1+2^(-m)*significand)*2^(exponent-bias)

其中m 是用于存储（整数）有效数（或尾数）的位数，bias 等于2^(e-1) - 1 其中e 是用于存储指数的位数。

让我们看看我们能从中得到什么。请注意

• significand 的值介于 0 和 2^m - 1 之间（在您的情况下：介于 0 和 1048575 之间）。
• exponent 的值介于0 和2^e - 1 之间。但是，这两个极值都是为异常（次正规数、无穷大和 NAN）保留的，称为非标准化数。

因此，

• 小数部分 (1+2^(-m)*significand) 的最小值为 1，最大值为 2-2^(-m)（在您的情况下为 2-2^(-20)，大约为 1,999999046）。
• 总指数exponent-bias 的最小非异常值为-2^(e-1)+2（在您的情况下为-14），最大的是2^(e-1)-1（在您的情况下为15）。

原来如此：

• 可以表示的最小（正）标准化数字是2^(-2^(e-1)+2)（在您的情况下为 2^(-14)，大约为 0,000061035）
• 最大的是(2-2^(-m))*(2^(2^(e-1)-1))（在您的情况下为 (2-2^(-20))*(2^15)，大约为 65535,96875）。

至于“机器精度”，我不确定您的意思，但有人称m+1（此处为21）二进制精度，十进制数字精度为log10(2^(m+1))，对你来说这是大约 6.3。

希望我没有弄错，我不是这方面的专家。

Answer 2

获得想法的一种方法是测试程序何时归零。你可以在 python 中编写这段代码。

N = 52
a = 1.0-2**(-N); 
print "%1.25f" % a

尝试使用不同的 N 值。当打印输出的最低 N 为零时，它会告诉您有多少位用于有效位。 print语句是为了保证程序真的把数字看成零，而不是只显示零。