计算机如何将浮点数转换为十进制字符串？

Question

当我运行以下代码时，输​​出准确为十进制数字 2⁵⁰⁰。

（ubuntu 上的 g++ 5.3.1）

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

int main(){
    cout.precision(0);
    cout << fixed << pow(2.0,500.0);
    return 0;
}

我想知道 C++ 是如何以如此高的精度将此浮点数转换为十进制字符串的。

我知道 2⁵⁰⁰ 可以准确地以 IEEE 754 格式表示。但我认为mod 10 和divided by 10 会导致浮点数的精度损失。转换进行时使用什么算法？

Answer 1

是的，2⁵⁰⁰ 存在精确的双精度浮点表示。但是，您不应该假设 pow(2.0,500.0) 会产生这个值。无法保证函数 pow 的准确性，您可能会发现源自 pow(10.0, 2.0) 的 SO questions 不会产生 100.0，尽管数学结果也可以完美表示。

但无论如何，要回答您的问题，从浮点二进制表示到十进制的转换通常不依赖于浮点运算，这对于最终结果的预期准确性来说确实太不准确了。一般来说，准确的转换需要reliance on big integer arithmetics。例如，在 2⁵⁰⁰ 的情况下，朴素的算法是将二进制 1000…<500 zeroes in total>… 写入的大整数重复除以 10。

在某些情况下可以使用浮点运算，例如利用 10 到 10²³ 的幂在 IEEE 754 双精度中精确表示的事实。但是二进制浮点和十进制浮点之间的正确舍入转换通常总是需要大整数运算，这在远离 1.0 时尤其明显。