是否有一种算法可以在线性时间内查找 log(n) 顺序统计信息

Question

我可以建立一个算法 FindStats(A,k)

它接收一个大小为n的输入数组A和一个整数k，使得2^k

到目前为止我尝试了什么：

我知道有一种算法 QuickSelect(A,k)（确定性算法），它在线性时间内返回第 k 阶统计量，但在我的情况下，简单的解决方案是遍历所有 1,2， 4,8...,2^k 订单统计并返回结果 O(nlogn)。

我可以改进它吗？有没有可能实现？

Answer 1

我认为 Jim Mischel 的回答采用了类似的逻辑。我不知道为什么那个答案被删除了。

如果我们承认有任何选择算法可以保证在O(n) 时间内有一个单一的k 阶统计，那么在O(n) 时间内找到1st, 2nd, 4th, 8th..., 2^kth 也是可以实现的。这是由于简单的代数：

let a = 2^k
then the sequence,
  a + 1/2*a + 1/4*a + 1/8*a + 1/16*a ...
converges and can never exceed 2*a

这意味着如果在每次选择之后（或期间），我们将列表划分为一半大小的部分，并为下一次选择设置输入，我们传递给选择算法的总输入将永远不会超过O(n)。我们的时间计算如下：

find 2^kth:       n
find 1/2 * 2^kth: 2^k
find 1/4 * 2^kth: 2^(k-1)
find 1/8 * 2^kth: 2^(k-2)
...

The sum on the right cannot exceed
n + 2^(k + 1)
=> O(n + 2^(log2(n) + 1))
=> O(n)

(If it takes an extra traversal to
 partition the list after each selection,
 the summation could add another n,
 not affecting the general complexity.)

另一个让我感兴趣的想法是，我们是否可以以某种方式使用 heapifying 方法来保证所有表亲都小于下一层的表亲。足够有效地执行此操作还可以保证使用广度优先搜索遍历此特殊堆的每个级别的 O(n) 解决方案。