最多重复 k 次的统一排列生成？

Question

我们设置了{1, 2, 3, ...,n} 个数字。我们希望生成这些数字的长度为 m 的排列，每个数字最多重复 k 次。

如果我们假设n=5, k=2, m=3，那么我们可以收到：{3,3,1}，但不是{3, 3, 3}，因为第二个例子中的3恰好是输出的三倍，大于k。

有没有一种快速统一生成这种排列的方法？

我尝试了两种不同的解决方案。

第一：

1) 产生带有重复的随机排列，有n^m 不同的排列。

2) 检查这是否是一个正确的排列（如果它不包含超过k 乘以相同的数字

3) 如果是，则返回，否则转到 1)

Python sn-p:

import numba
import numpy as np


@numba.jit(nopython=True)
def gen_sequence1(n, k, m):
    result = np.random.randint(0, n, (1, m))[0]
    while not is_correct(result, k):
        result = np.random.randint(0, n, (1, m))[0]
    return result


@numba.jit(nopython=True)
def most_frequent(iter):
    return np.bincount(iter).max()


@numba.jit(nopython=True)
def is_correct(pruf, k):
    return most_frequent(pruf) <= k

第二种方法：

生成随机整数，仅当它在k 次之前没有出现时才将其添加到序列中。这些词的优化版本如下所示（用 Python 编写）。 Python sn-p：

def gen_seq(n, d, m):
    choices = list(range(n))
    degrees = [0] * n
    result = []
    k = n - 1
    for i in range(m):
        rand = np.random.randint(0, k)
        result.append(choices[rand])
        degrees[choices[rand]] += 1
        if degrees[choices[rand]] == d:
            choices[rand], choices[k] = choices[k], choices[rand]
            k -= 1
    return result

问题是第一种方法对于n=30, m=28, d=1 非常慢，它需要10^9 次来生成序列，这很明显。

第二个是没有产生统一的排列（有些比其他的概率更大）。

您有什么想法可以快速统一地生成这样的序列吗？

Answer 1

这假设您有足够的内存来保存数字 [1..n] k 次。

1. 设置数组 [1..n]。

2. 将数组复制 k 次：[1..n, 1..n, 1..n, ... 1..n] 成一个大数组。

3. 在大型重复数组上运行 Fisher-Yates shuffle 的前 m 步以获得所需的排列。无需打乱整个数组，因为您只需要 m 个数字。

Answer 2

如果我没记错 np.choice 有一个选项来给出概率，那么你可以这样做：

1. 设置数组 [1..n]。

2. 将数组复制 k 次：[1..n, 1..n, 1..n, ... 1..n] 成一个大数组。 就像@rossum 提议的那样。

3. 为这个大数组均匀生成概率 (1/(k*n))。

重复m次：

4. 获取一个数字到结果数组
5. 设置绘制项目概率为 0 的概率为 0，其余为 相同的值在它们之间均匀分布 1/(k*n)，我们刚刚设置为 0

例子：

令 S=[1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4] 是一个大数组，其中每个项目有 k 个，k=3 和 m = 4。

1. 生成 P = [1/12]*len(S)

2. result = random(S,P) 假设 result = [1]

3. 概率会这样 P = [0,1/12+1/36,1/12+1/36,1/12+1/36,其余保持不变]

重复步骤 2 和 3 m 次

如果没有更多与绘制相同的值，则将其设置为 0 并设置剩余概率以保持该比率和总和为 1 。我认为最难的部分是操纵概率。