如何使用 Dijkstra 算法找到具有顶点约束的最短路径

Question

我已经在这个问题上卡了两天了，仍然没有进展。基本上问题如下： 给定一个无向简单加权和连通图，我们必须找到从给定源到给定目的地的最短步行路程，同时访问给定集合 A 中的至少一个顶点和集合 B 中的至少一个顶点，并添加约束：集合 B 的顶点应该总是在访问集合 A 的顶点之后出现。 集合 A 和 B 不相交，图中可以有既不属于 A 也不属于 B 的顶点。源顶点和目的顶点只有一个。

我尝试将最短路径分解为一个访问顶点的路径，即从源访问 A 中的 v，然后从 v 到 B 中的另一个 w，然后从 w 到目的地。这可以分别使用具有不同起始顶点的 3 次 Dijkstra 通道来完成。但是，我必须选择这样的最小值 v 导致 O(VElog(V)) 复杂度，其中 V = 顶点数和 E = 边数。 我非常坚持如何在 O(E*log(V)) 中执行此操作，因为问题是这样问的，即仅使用 O(1) Dijkstra 运行。有人可以帮帮我吗？

编辑：我们不能像某些人建议的那样构建新图或修改它，以构建水平图。 我必须以某种方式修改 Dijkstra 例程来解决这个问题。 Graph. Blue vertices are the set A, purple ones set B. Home is 0 and Destination is 8 例如，在这个图中（见链接），最短的步行应该是：0 -> 1 -> 0 -> 3 -> 6 -> 7 -> 8 总成本 = 6

Answer 1

作为@n.'代词' m。指出，我们可以通过图分层来解决这个问题。 特别是对于我的情况，只需添加一个新的源顶点并将该源顶点的边添加到属于原始图 A 的顶点的所有边。这些边的权重将与原始图中从原始源到该顶点的最短路径相同。 类似地，您添加一个新的目标顶点并将所有 B 顶点的边添加到这个新顶点，边的权重再次是原始图中从 B 顶点到原始目标顶点的最短路径。 现在，如果您从新源到新目的地运行 Dijkstra，您会看到在 B 顶点最终在新目的地结束之前将访问至少一个 A 顶点。这条路径确实是最短路径。

Answer 2

解决此类问题的最简单（对我而言）方法是将图形顶点分成“层级”（如建筑物中的故事），并可能在多个层级之间复制一些顶点。

在您的情况下，将有 5 个级别，级别 1、3 和 5 包含所有顶点，而级别 2 只有 A 顶点，级别 4 只有 B。起始顶点在级别 1，结束在级别 5 . 在每一层内和相邻层之间复制原始边缘。

修改后的图中的任何路径都经过一个 A 顶点，然后再经过一个 B 顶点，因为任何路径都必须依次经过所有 5 个级别。

这种安排不关心是否有额外的 A 和 B 顶点在任何顺序中，除了所需顺序中的强制对（因此 x-x-x-A-B-A-B-x-x-x 是允许的）。如果需要排除这些，请删除级别 1 和 3 中的所有 B 顶点，以及级别 3 和 5 中的所有 A 顶点。