合并排序的空间要求

Question

我正在尝试了解合并排序的空间要求，O(n)。
我看到时间要求基本上是级别数（logn）* 合并（n），这样就产生了（n log n）。
现在，我们仍然在每个级别分配 n，在左右 2 个不同的数组中。
我明白这里的关键是当递归函数返回时，空间被释放，但我没有看到它太明显。
此外，我找到的所有信息，只是说明所需的空间是 O(n)，但不要解释它。
有什么提示吗？

function merge_sort(m)
    if length(m) ≤ 1
        return m
    var list left, right, result
    var integer middle = length(m) / 2
    for each x in m up to middle
         add x to left
    for each x in m after middle
         add x to right
    left = merge_sort(left)
    right = merge_sort(right)
    result = merge(left, right)
    return result

编辑 好的，感谢@Uri，这就是诀窍
一开始没看到的是时间只加，而内存加减，所以最大时间是在执行结束时，但最大内存是在递归栈的底部。

所以，如果我们继续添加 n + n/2 + n/4 + n/8.... 不管我们添加多少次，它永远不会大于 2n，当我们达到递归堆栈底部并开始向上，我们不保留前一个分支使用的内存，所以在最大值，2n 将是使用的内存量，O(n)。

Answer 1

这是我对代码空间复杂度的解释。基本上，当算法得到结果时，我们在内存上的表现如何。

1) 您进行的每个递归调用都分配了一个恒定大小的堆栈帧以及任何不是“n”函数的变量。 我们称这个常数为“c”。因为，你要深入 lg(n) 级，结果是 c*lg(n)，即 O(lg(n))。

2) 现在，当我们计算结果时，我们为 n/(2^k) 个元素分配空间，其中 k 是您所处的级别。

left = merge_sort(left)
right = merge_sort(right)

对于可能想知道我们如何得出 n/(2^k) 的人，请注意，在求解数组的前半部分（即 left=merge_sort(left)）时，我们首先要分配内存。一旦这个递归树结束，我们最终会释放所有内存并在求解右侧之前回到起点。因此，它的 n/(2^k)。 这将是 O(n)。

3) 最后，合并过程也可能分配额外的空间（如果使用链表，则可能不需要这个空间），这是 O(n)

最终答案 = O(lg(n)) + O(n) + O(n) 即 O(n)。

Answer 2

有一些版本的合并排序可以就地工作。

但是，在大多数实现中，空间在数组大小上是线性的。这意味着 n 表示第一级，n/2 表示第二级，n/4 表示第三级，等等。当你处于递归的底部时，这个系列加起来约为 2n，这是线性的。