在 MATLAB 中高效地设置稀疏矩阵以进行矩阵求逆答案

【问题标题】：Efficiently Setting up Sparse Matrices in MATLAB for Matrix Inversion在 MATLAB 中高效地设置稀疏矩阵以进行矩阵求逆
【发布时间】：2015-09-23 11:28:01
【问题描述】：

考虑最小二乘逆问题的正规方程的以下加权解：

m = inv(G'*W'*W*G)*G'*W'*W*d

我想设置权重矩阵W，这是一个对角线方阵，对角线上有权重。

由于我在 d (10⁷) 中有大量数据点，我的系统矩阵 G 也很大，但只有一维（因为我的数据点比模型参数多得多）。在 6 个模型参数的情况下，G 的大小为 (10⁷ × 6)。因此，W 的大小必须为 (10⁷ × 10⁷)。但是，它是稀疏的，只有 107 个非零条目（权重）。

为了减少内存，我在W 上使用稀疏。

要分配权重，我执行以下操作

d = [d1;d2];   
W = sparse(length(d),length(d)) 
w1 = length(d2)/length(d);
w2 = length(d1)/length(d);
W(1:length(d)+1:length(d)*length(d1)) = w1;
W(length(d)*length(d1)+1:length(d)+1:end) = w2;

d1 和 d2 是带有观察值的列向量。

这将为对角线分配权重，但速度非常慢。

我的问题：

我也可以

不知何故加快了对角线权重的分配，或者
重写m = inv(G'*W'*W*G)*G'*W'*W*d，这样我就不用设置W了？

注意 1：图中的权重是两个不同的常数，但实际上它们会在允许对角线的情况下发生变化！

注意 2：代码的瓶颈确实是设置W，而不是反转本身，因为反转矩阵的大小仅为 (6 × 6)。

【问题讨论】：

d1 和 d2 是什么？请发布可运行的代码。另外，d = [d1;d2] 意味着 w1 和 w2 只是一个，W 是 eye？为什么要两个对角线赋值（最后两行）？
d = [d1;d2] 是 nx 1 和 mx 1 向量的垂直串联，因此除了 length(d1)+length(d2) 之外不暗示 d1 和 d2 的长度= 长度（d）
您是否尝试过使用W = sparse([1:numel(d1) 1:numel(d2)], 1:numel(d), [w1; w2], numel(d), numel(d));，其中w1 和w2 是列向量？这替换了初始化W = sparse(length(d),length(d)); 和两个赋值行
@LuisMendo：太好了，我没有意识到稀疏矩阵的这种初始化是可能的。它实际上甚至在纪录片中给出。它快了几个数量级。非常感谢！
如果W 是真正的对角线，那么你最好用bsxfun(@times, G, [length(d2) length(d1)]/length(d)) 来计算G.' · W.'。 WG 和 Wd 是什么？

标签： performance matlab math matrix matrix-inverse

【解决方案1】：

根据W 的结构，我会说将G 分成两半并以W 作为标量产品来计算产品更有效：

G1 = G(1:length(d1),:);
G2 = G(length(d1)+1:end,:);

m = (w1^2*G1'*G1 + w2^2*G2'*G2) \ (w1^2*G1'*d1 + w2^2*G2'*d2);

另外，一般用A \ b代替inv(A)*b（即使A很小）。

【讨论】：