给定高度的二叉搜索树的数量

【问题标题】：Number of Binary Search Trees of a given Height给定高度的二叉搜索树的数量
【发布时间】：2015-10-31 08:37:47
【问题描述】：

对于给定的一组唯一数字，我如何找到最高给定高度 h 的 BST 数量并丢弃所有高度大于 h 的 BST？

我已经使用递归方法编写了代码

static int bst(int h,int n){
    if(h==0&&n==0)return 1;
    else if(h==0&&n==1)return 1;
    else if(h==0&&n>1)return 0;
    else if(h>0&&n==0)return 1;
    else{
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            sum+=bst(h-1,i-1)*bst(h-1,n-i);
        return sum;
    }
}

【问题讨论】：

动态编程，一如既往。
我知道如何使用动态编程计算由 n 个节点形成的 bst 总数。但是如果我们必须将树的高度限制在一个特定的数字。
比如4个节点，bsts的数量是14个。但是我们想限制树的高度为3。现在树的数量会更少。
@DavidEisenstat 你能解释一下吗？
按高度和节点数索引表格。

标签： algorithm binary-tree binary-search-tree dynamic-programming combinatorics

【解决方案1】：

您可以按照 cmets 中的 @DavidEisenstat 建议添加记忆功能来加快速度。

您创建一个记忆表来存储已计算结果的值。在示例中，-1 表示该值尚未计算。

C++ 示例

long long memo[MAX_H][MAX_N];

long long bst(int h,int n){
    if(memo[h][n] == -1){
        memo[h][n] = //Compute the value here using recursion
    }
    return memo[h][n];
}

...

int main(){
    memset(memo,-1,sizeof memo);
    bst(102,89);
}

这将在O(h*n) 中执行，因为您将只为每对可能的n 和h 计算一次bst。这种技术的另一个优点是，一旦表格被填满，bst 将以 O(1) 响应（对于表格范围内的值）。注意不要使用高于MAX_H 和MAN_N 的值调用该函数。另请记住，记忆化是一种内存时间权衡，这意味着您的程序运行速度会更快，但也会使用更多内存。

【讨论】：