根据两个 3D 矢量计算目标角度？

Question

我在 Ruby 中编写了这个函数来查找两个 2D (x,y) 向量之间的目标角度，但现在我想了解如何以类似的方式在 3D 中执行此操作：

def target_angle(point1, point2)
    x1 = point1[0]
    y1 = point1[1]
    x2 = point2[0]
    y2 = point2[1]
    delta_x = x2 - x1
    delta_y = y2 - y1
    return Math.atan2(delta_y, delta_x)
  end

给定一个对象（在这种情况下就像一个子弹），我可以在给定玩家 (x,y) 和鼠标 (x,y) 之间的 target_angle 的情况下射击该对象，例如在子弹更新函数中：

  def update
    wall_collision
    # the angle here is the target angle where point 1 is the player and
    # point 2 is the mouse
    @x += Math.cos(angle)*speed
    @y += Math.sin(angle)*speed
  end

是否有类似的方法来计算 3D 中的目标角度并以与我的更新函数类似的方式使用该角度（在 3D 中射击子弹）？如何使这适用于两个 3D 向量 (x, y, z)，其中玩家位置 (x,y,z) 和其他一些远离玩家的任意 3d 点。

Answer 1

我最近发布了一个向量/矩阵 gem，虽然它是用 C 编写的，但我会尝试将它翻译成纯 Ruby。

实际上有几种不同的方法可以计算 3D 空间中两个向量之间的角度。使用典型的acos 函数很常见，但当斜率接近 +/- 1.0 时会出现很大的精度问题，因此最好使用角平分线进行计算。使用acos，即使是叉积的轻微精度误差也会导致更大的角度误差，所以经过一些研究，我发现这种方法总是一致的。

给定 2 个向量，定义为 v1 和 v2：

# Normalize vectors
inv = 1.0 / Math.sqrt(v1.x * v1.x + v1.y * v1.y + v1.z * v1.z)
n1 = Vector.new(v1.x * inv, v1.y * inv, v1.z * inv)

inv = 1.0 / Math.sqrt(v2.x * v2.x + v2.y * v2.y + v2.z * v2.z)
n2 = Vector.new(v2.x * inv, v2.y * inv, v2.z * inv)

ratio = n1.x * n2.x + n1.y * n2.y + n1.z * n2.z


if ratio < 0.0
  x = -n1.x - n2.x
  y = -n1.y - n2.y
  z = -n1.z - n2.z
  length = Math.sqrt(x * x + y * y + z * z)
  theta = Math::PI - 2.0 * Math.asin(length / 2.0)
else
  x = n1.x - n2.x
  y = n1.y - n2.y
  z = n1.z - n2.z
  length = Math.sqrt(x * x + y * y + z * z)
  theta = 2.0 * asin(length / 2.0)
end

# Convert from radians to degrees
angle = theta * (180.0 / Math::PI)

我没有运行/测试此代码，并且我不确定您使用的是什么确切的向量实现，我只是假设一个具有x、y 和z 值的对象来说明这一点.可能会有一些小的改进，例如乘以0.5 而不是除以2.0，因为除法速度较慢，但​​基本前提应该会有所帮助。

这段代码我是从一个 C 项目转换过来的，所以如果你对其他向量函数感兴趣，可以看here（无耻的自我宣传）。

Answer 2

[伪代码]

两个向量的点积与它们之间夹角的余弦有关。

COS(angle) = dot(a,b)/( |a|*|b| ) 

两个向量的叉积与它们之间夹角的正弦有关。

SIN(angle) = | cross(a,b) |/( |a|*|b| )

所以正切就是正弦与余弦的比值（分母相互抵消）。

angle = atan2( magnitude(cross(a,b)), dot(a.b) )  % returns angle in radians

_{注意atan2(Δy,Δx) 的约定。}

最后，定义如下函数

magnitude(c) = sqrt(c.x^2+c.y^2+c.z^2)
dot(a,b) = a.x*b.x + a.y*b.y + a.z*b.z
cross(a,b) = [ a.y*b.z - a.z*b.y, a.z*b.x - a.x*b.z, a>x*b.y - a.y*b.x ]