在三个维度上找到两个单位向量之间的角度

【问题标题】：Finding angle between two unit vectors in three dimensions在三个维度上找到两个单位向量之间的角度
【发布时间】：2011-07-03 06:38:57
【问题描述】：

我正在尝试做一些基本的 3D 模拟，但距离我在高中学习这些东西已有 20 年了......

如果我有两个三维向量，我如何找到它们之间的角度。例如，我有一个 (3,2,1) 向量和另一个 (4,-5,6) 向量，我将如何找到它们之间的角度（以度或弧度为单位）。如果我记得有一些公式可以做到这一点。

谢谢。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这就是诀窍：

atan2(sqrt(dot(cross(a, b), cross(a, b))), dot(a, b))

作为一个 python lambda 函数：

import math, numpy

angle = lambda a, b: math.atan2(
    math.sqrt(
        numpy.dot(*([numpy.cross(a, b)]*2))
    ), 
    numpy.dot(a, b)
)

结果以弧度表示：

In : angle([1.,1.,1.], [-1.,1.,1.])
Out: 1.2309594173407747

In : angle([0.,1.,0.], [0.,0.,1.])
Out: 1.5707963267948966

也适用于二维：

In : angle([0.,1.], [1.,0.])
Out: 1.5707963267948966

In : angle([0.,1.], [1.,1.])
Out: 0.7853981633974483

【讨论】：