如何根据正则语法得到正则表达式？

Question

问题是

正则文法G的生成规则是

S → 0A | 1B | ε , A → 1B | ε , B → 0A |ε, 

将 L(G) 表示为正则表达式。

我的解决方法如下。

S = 0A + 1B+ ε
A = 1B + ε
B = 0A + ε

然后

S = 0(1B + ε) + 1(0A + ε) = 1(0A + 0B + ε) + 0ε + ε

我不知道如何在这里简化表达式了。在这方面的任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我们先写一些方程：

S = 0A + 1B + e
A = 1B + e
B = 0A + e

我们可以通过替换来消除 B：

S = 0A + 1(0A + e)+ e = 0A + 10A + 1 + e
A = 1(0A + e)+ e = 10A + 1 + e
B = 0A + e

我们现在可以消除 A 中的递归：

S = (0 + 10)A + 1 + e
A = (10)*(1 + e)
B = 0A + e

现在我们可以通过替换来消除 A：

S = (0 + 10)(10)*(1 + e) + 1 + e
A = (10)*(1 + e)
B = 0(10)*(1 + e) + e

我们可以通过观察常见的 1 + e 项、因式分解来稍微简化 S 的表达式，然后注意到 + 10 项没有添加任何内容：

S = (0 + 10)(10)*(1 + e) + 1 + e
  = [(0 + 10)(10)* + e](1 + e)
  = (0 + e)(10)*(1 + e)

这似乎是 {0, 1} 上的所有字符串的语言，既不包含 00 也不包含 11。为了证明这一点，我们可以证明正则表达式生成所有此类字符串，并且它仅生成此类字符串。

表达式生成的任何字符串都是三个字符串的串联：第一个不能以 1 结尾，最后一个不能以 0 开头，中间不能以 0 开头，也不能以 1 结尾。因此，字符串 00 和 11不能在边界处形成。同样清楚的是，这三个都不可能包含 00 或 11。因此，表达式生成的任何内容都既没有 00 也没有 11。

可以生成任何不带 00 或 11 的字符串。假设一些这样的字符串以 x 开头，长度为 n。

如果 n > 0 且 x = 0，则表达式从第一部分中选择 0，10 次等于 n 减一，数量超过 2 次；然后，当且仅当 n 为偶数时，它从第三部分中选择 1。

如果n> 0和x = 1，则表达式选择第一部分的E，需要10次等于n减去一个，数量超过两个，次，然后选择1，如果只为第三部分选择1如果 n 是奇数。

如果 n = 0，则表达式为第一部分和第三部分选择空字符串，并取 10 个零次。

在所有三种情况下，正则表达式都能够生成字符串。因为表达式生成我们语言中的所有字符串且仅生成字符串，所以它是我们描述的语言的正则表达式。