如何从正则表达式中找到语言？答案

【问题标题】：How do I find the language from a regular expression?如何从正则表达式中找到语言？
【发布时间】：2011-11-29 15:33:24
【问题描述】：

我如何在字母表 {a, b} 上找到以下正则表达式的语言？

aUb*
(ab*Uc)
ab*Ubc*
a*bc*Uac

编辑：在我疯狂地投票之前，如果有人能向我展示解决这些问题的步骤，而不仅仅是解决方案，我将不胜感激。也许甚至可以带我完成一个，这样我就可以自己做剩下的事情了。

谢谢！

【问题讨论】：

你在说什么语言？
你听说过正则表达式吗？
您可以从基于给定字母的语言构建正则表达式。因此，例如基于 {a, b} 有一组给定的规则可以构建上面的每一行。
@prgram4fun，当字母表仅限于“a”和“b”时，为什么在某些正则表达式中使用“c”？
@MostyMostacho，是的，这基本上是正则表达式工作方式背后的数学原理。我理解这个问题的唯一原因是因为我现在也在上这门课:)（但这并不意味着我知道答案......）

标签： regex context-free-grammar regular-language formal-languages

【解决方案1】：

尽管 Mike 给出了生成由正则表达式表示的语言的语法，但您的作业要求语言本身。因为您正在处理正则表达式，所以您的答案必须是正则集。

回忆一下字母表上正则集的定义：

Let Σ be an alphabet. The class of regular sets over Σ is the smallest class
containing ∅, {λ}, and {a}, for all a ∈ Σ, and closed under union, concatenation,
and Kleene star.

现在回忆一下字母表上正则表达式的定义：

Let Σ be an alphabet. The class of regular expressions over Σ is the smallest
class containing ∅, λ, and a, for all a ∈ Σ, and closed under union, concat-
enation, and Kleene star.

因此，翻译应该简单明了。事实上，它包括在每个字母周围插入大括号！例如：

a ∪ b*  denotes {a} ∪ {b}*
ab* ∪ c denotes {a}{b}* ∪ {c}
...

如果您想用集合生成器表示法表达每个正则表达式的语言，您可以恢复到对正则集合的操作的定义。回忆：

Let A and B be regular sets. Then
   1  A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
   2. AB    = {xy : x ∈ A ∧ y ∈ B}
   3. A*    = ∪[i = 0 -> ∞]A^i

通过替换常规集合操作的定义，可以将常规集合转换为集合构建器符号。为了避免引入嵌套的集合构建符号，我将相等与串联的定义结合使用来表达常规集合的串联。

{a} ∪ {b}*    = {w : w ∈ {a} ∨ w ∈ ∪[i = 0 -> ∞]{b}^i}
{a}{b}* ∪ {c} = {w : (w = xy ∧ (x ∈ {a} ∧ y ∈ ∪[i = 0 -> ∞]{b}^i)) ∨ w ∈ {c}}
...

您现在应该能够毫无困难地找到其余表达式所表示的语言。

【讨论】：

【解决方案2】：

编辑：简短回答，* 在几乎所有正则表达式/语法语法中都表示“零次或多次重复”，包括 perl5 和 RFC 5234。* 通常比串联和交替绑定更紧密。

您说您想要一种超越字母表 (a, b) 的语言，但在您的表达式中包含 c 和 U。我将假设你想要一个语言语法在字母表（a，b，c）上的形式像 BNF 给定一个正则表达式，其中U 是一个低优先级联合运算符，类似于 perl 中的|回复。

在这种情况下，

a|b*

等价于BNF：

L := a
   | <M>
M := epsilon
   | b <M>

* 运算符表示零或多个，因此M 中的第一个子句是基本情况，第二个子句是M 的递归使用，其中包括一个终端b。

L 只是单个终端 a 或非终端 M。

(ab*|c)

L ::= a <M>
    | c
M ::= epsilon
    | b <M>

M 的推导方法同上，其余的不言自明。

ab*|bc*

L ::= a <M>
    | b <N>
M ::= epsilon
    | b <M>
N ::= epsilon
    | c <N>

N的推导方式与上述M相同。

a*bc*|ac

大多数正则表达式语言中的* 绑定比串联更紧密，所以这与

(a*b(c*))|(ac)

归结为

L ::= <M> b <N>
    | a c
M ::= epsilon
    | a <M>
N ::= epsilon
    | c <N>

通常要将正则表达式转换为 BNF，您只需使用正则表达式中的邻接来表示 BNF 中的邻接，而正则表达式中的 U 或 | 表示 BNF 中的 |。

如果你定义了一个非终结符<X> ::= x，那么你可以这样处理x*：

L ::= epsilon
    | <X> <L>

使用相同的非终结符 <X> ::= x 然后您可以处理 x+ ：

L ::= <X>
    | <L> <X>

这让您得到重复运算符* 和+，留下?。 x?简直就是

L ::= epsilon
    | <X>

【讨论】：

好吧，起初有点难以理解，但我明白了。所以基本上 * 意味着你可以拥有无限量的那封信？因此，例如，最后一个正则表达式可能表示 0 或任意数量的 a，1 b、0 或任意数量的 C，或 ac。就像你说的，c 没有意义，因为它不是字母表的一部分。所以我假设这是教授的错误。谢谢！
@prgram4fun，是的，* 表示任意数字，+ 表示一或多个，? 表示零或一。所有这些都比串联更紧密，串联比联合更紧密。

【解决方案3】：

如果您知道星号、联合和串联的含义，这些应该很容易。第一个是工会b星。根据操作顺序，这意味着联合（b 星）。联合表示左侧语言中的任何内容或右侧语言中的任何内容。 a 表示由长度为一的字符串 a 组成的语言； b 星表示由任何字符串组成的语言，该字符串由零个或多个 b 符号组成，仅此而已。所以这种语言是{empty, a, b, bb, bbb, bbbb, ...}。在第二个中，ab* 表示由 a 后跟零个或多个 b 符号组成的所有字符串。先做星号，然后是连接，然后是联合，遵守给定的显式括号。

【讨论】：