函数复杂度从指数到线性

Question

我有以下具有指数复杂度的函数：

c :: Integer -> Integer
c n 
   | n <= 4 = n + 10
   | otherwise = c (n-1) + 2 * (c (n-4))

我正在努力使这个函数的复杂性变为线性。

c x 应该终止，即使 1000

Answer 1

至少有两种方法可以及时线性地解决这个问题。

使用中间内存

c1 :: Integer -> Integer
c1 n 
  | n <= 4 = n + 10
  | otherwise = go n (map c1 [4,3,2,1])
  where
    go 4 (a:_) = a 
    go n [a,b,c,d] = go (n-1) [a + 2*d, a, b, c]

这里我们使用四个中间寄存器并在going 循环时将它们移位。我们可以使用元组(a, b, c, d) 来代替列表，但是从这里开始映射会更方便。

这个解在空间上是恒定的，在时间上是线性的。

记忆（codata 生成）

c2 :: Integer -> Integer
c2 n
  | n <= 4 = n + 10
  | otherwise = results !! fromInteger (n - 1)
  where
    results = [11..14] ++ zipWith f (drop 3 results) results 
    f a b = a + 2*b

这里我们使用 Haskell 的惰性（普通评估策略 + memoization）。无限列表results 按需生成值。它被c2 函数用作数据，它只是向生成器请求n-th 数字，并且是自定义的。同时，这些数据在需要时才存在。这种类型的数据称为 codata，在 Haskell 中很常见。

这个解在空间和时间上是线性的。

两种解决方案都处理负数和大正数。