复数的numpy小数点精度

Question

考虑以下 Python 代码，它在 Python 中对复数执行一些简单的算术运算：

import numpy as np

s = 2
l = 5
v = np.array([np.exp(1j*2*np.pi/l)])
A = pow(s*v, l) + s*v

#Print the precision of np.complex128
print np.finfo(np.complex128).precision

#Export using 20 decimal places for real and imaginary parts
np.savetxt('A.csv', A, fmt=['%.20e%+.20ej'], delimiter=',')

我看到这个answer是为了在Python中打印np.complex128变量的精度，我得到的是15。当我在Spyder中检查A的值时，我看到(32.61803398874989+1.9021130325903035j)的虚部超过15 位小数。此外，导出的 CSV 文件的值为 3.26180339887498931262e+01+1.90211303259030350965e+00j 其实部和虚部都有 20 个有用的位小数。

我在这里感到困惑：如果精度为 15，那么那些额外的小数位是多少？根据here，np.complex128 由两个 64 位浮点数组成，一个用于实部，一个用于虚部。

但我的主要问题是，我在程序中对复数（如加法、乘法和矩阵求逆）进行了许多此类操作，每次运行时都会得到不同的结果，有时正确，有时错误。看来我的程序对这些操作的准确性非常敏感。 Python 中如何量化复数的精度以及我可以拥有的最大值是多少？

我正在使用 Python 2.7.14 和 Numpy 1.14.3。

Answer 1

完整的答案会占用很多空间。对于初学者，您需要阅读一本关于数值分析的书，其中解释了二进制浮点类型如何工作和存储。但这里有一些部分解释。

64 位浮点值以二进制而不是十进制存储。因此，关于十进制数字的大部分内容必须是近似值，而不是完整的故事。

当np.finfo(np.complex128).precision（或其他任何东西）说有 15 位有效十进制数字时，这意味着您不能指望超过这 15 位数字。这是一个示例，取自我的 IPython 控制台。

In [4]: 9.000000000000001
Out[4]: 9.000000000000002

In [5]: 9.000000000000001 == 9.000000000000002
Out[5]: True

默认情况下，Python 对任何带小数点的数字使用 64 位浮点类型，将这两个 16 位十进制数字视为相同。当您使用数字 9.000000000000001 时，只有前 15 位十进制数字才能保证正确存储。之后的任何内容都无法保证，您会看到在这种情况下1 基本上更改为2。

有时您可以获得超过这 15 个十进制数字。例如，由于数字是以二进制形式存储的，因此比 9.0 稍大的数字在 radix point 之后的二进制数字会更多。这是因为9 使用了 4 个二进制数字，而1 只使用了一个，所以小数点之后可以再使用 3 个二进制数字。那么让我们看看你的数字的虚部，1.9021130325903035：

In [17]: 1.902113032590303 == 1.9021130325903035
Out[17]: False

In [18]: 1.9021130325903036 == 1.9021130325903035
Out[18]: True

In [19]: 1.902113032590304 == 1.9021130325903035
Out[19]: False

我们看到，虽然数字显示了 17 位十进制数字，但当我们将最后一位从 5 更改为 6 时，Python 并没有看到任何变化。但是，如果我们将该数字四舍五入到 16 位十进制数字，无论是向上还是向下，都会发生变化。所以我们可以说这个数字被存储为 16 位十进制数字和更多。这就是为什么当我解释精度时，我说浮点数保证有 15 位有效十进制数字，但它可能有 16 位，而实际精度略高于此。更简单地说，有 15 或 16 位有效十进制数字。

Python 有两种打印浮点数的基本方法：str 函数和repr 函数。 str 函数简单地打印内容，因此用户无需过多详细说明即可理解结果。 repr 函数提供了更多细节，并尝试打印如此多的细节，以至于存储的数据可以完全由打印的内容确定。请注意，repr 在某些情况下是不可见的，例如在控制台中输入数值，或者如您所见，在 Spyder 中使用变量资源管理器。

当 Spyder 或 Python 对您的号码 1.9021130325903035 执行 repr 时，它会提供足够的数字来完全定义该号码。正如我们在上面看到的，如果它只显示 16 位十进制数字，删除最后的 5，结果将与存储的结果略有不同。因此 Python 会打印一个额外的数字，这样您就可以知道该值是什么。如果 Python 打印出最终的 6 而不是 5，则该值将是相同的，但如果 Python 完全省略了该数字，则该值将被更改。所以 Python 通过repr 错误地给出了太多的数字。尽管打印了 17 个数字，但其中只有 16 个是确定的。

最后，您的 csv 文件显示 20 个十进制数字，因为您告诉 Python 显示 20 个十进制数字，这是由于 np.savetxt 命令中的 %.20e 说明符。这 20 个小数位并不都是“有用 个小数位”，尽管您写了这些。只有前 16 或 17 个在虚部中有用，这取决于您如何定义“有用”。 Python 基本上将二进制位（全为零）添加到存储的值中，并将其打印为 20 个十进制数字。但是那些零二进制位没有存储在值中。