如何确定是否可以接受排行榜？答案

【问题标题】：How to decide if a league table is admissible?如何确定是否可以接受排行榜？
【发布时间】：2019-11-04 02:45:25
【问题描述】：

让我们考虑一个由 n 支球队组成的联赛，其中每支球队与所有其他球队交手两次，并产生三种可能的结果：赢、输或平。胜得 2 分，平 1 分，负 0 分。我们要决定是否可以接受排行榜。

我正在尝试实现一个多项式时间算法来解决这个问题。我曾想过使用网络流技术（如 Kleinberg 和 Tardos 的“算法设计”的第 7 章），但无法提出任何具体的建议。

理想的解决方案如下所示

    IsAdmissible
    Input: Final league table
    {
         ...
    }
    Output: TRUE if there's a combination of matches resulting in given table
            FALSE otherwise

【问题讨论】：

什么是可接受的联赛？
一个可接受的排名表是一个有其结果组合的表。例如，如果我们有 20 支球队，那么一支球队的最大积分是 114 分，因此不允许有一支球队获得 115 分的联赛表。
请将问题规范编辑到问题中，而不是作为 cmets。包括所有规格。还有其他表格列需要考虑吗？
为什么是 114？胜利值 2 分还是 3 分？

标签： algorithm max-flow

【解决方案1】：

快速初查：所有队伍得分之和必须满足：

20*19*2 ≤ sum(s) ≤ 20*19*3

每队打38场比赛，每场比赛可以得0分、1分或3分。每个团队的总分 s 必须满足：

d + 3*w = s，其中 d 和 w 是非负整数（d - 平局次数，w - 获胜次数）
d + w ≤ 38

很容易找到每个团队的所有有效 (d, w)。

如果每个团队都有一个有效的 (d, w)，则该表是可接受的，例如：

对于任意 2 支球队，sum(w) ≤ 38+36
对于任意 3 支球队，sum(w) ≤ 38+36+34
对于任意 n 队，sum(w) ≤ 38+36+...+(40-2n)

（按分数递减对团队进行排序；对每个 n 执行一次检查就足够了）
sum(d) = 4560 - 2*sum(s)
sum(w) = sum(s) - 1520

上述两个等式来自以下事实：

sum(s) = sum(d) + 3*sum(w)（平局 = 1 分，获胜 = 3 分）
sum(d)/2 + sum(w) = 20*19*2（每场比赛以一场胜利或两场平局结束）

所有这些条件都是必要的。我相信（但尚未证明）它们就足够了。

【讨论】：