高效的最大流量算法将尽可能多的人路由到一个位置？答案

【问题标题】：Efficient, max-flow algorithm to route as many people as possible to one location?高效的最大流量算法将尽可能多的人路由到一个位置？
【发布时间】：2021-02-24 02:55:04
【问题描述】：

我正在尝试使用有向图确定一个有效的最大流量算法，其中，给定 n 个航班列表（其中每个条目都有起始城市、结束城市、出发时间、到达时间，以及航班的容量），将从 A 市开始到 B 市结束的路线尽可能多的人。我还希望能够返回一组可以乘坐的航班，以便尽可能多的人从城市 A 到达城市 B。我认为它可能只是 Ford-Fulkerson 算法或类似算法的实现，但我无法以有效的方式将此时间表转换为最大流量实例，尤其是该算法的伪代码在这样做之后会是什么样子。

【问题讨论】：

标签： algorithm max-flow network-flow ford-fulkerson edmonds-karp

【解决方案1】：

您正在考虑的算法可以解决问题，但必须正确构建要处理的图表。

您的问题是时机。假设您想在 14:00 之前从 A 到 C 的人，我们共有 4 个航班：

航班 1：A -> B，10:00 -> 11:00，Cap. 100
航班 2：A -> B，11:00 -> 12:00，Cap. 100
航班 3：B -> C，11:30 -> 12:30，Cap. 100
航班 4：B -> C，12:30 -> 13:30，Cap. 100

您可以在这里看到，您可以填满所有航班，并及时从A 到C 得到 200，但构建图表需要考虑时间。
我的建议是你没有一个节点来代表B，而是有几个节点：

(B, 11:00) - B 11:00。
(B, 12:00) - B 12:00。
(B, 12:30) - 3 号航班起飞时。
(B, 13:30) -当 #4 航班起飞时。

任何可以从B 起飞的航班都将被添加到图表一次，从相关的B 节点开始。

B 节点连接到具有无限容量的边缘中的其他B 节点，按时间顺序向前移动。这允许乘客在B 的不同时间之间“等待”。

这个例子最终会得到以下边列表：

// 飞行边缘
[(A, 10:00), (B, 11:00)]，章。 100
[(A, 11:00), (B, 12:00)]，章。 100
[(B, 11:30), (C, 12:00)]，章。 100
[(B, 12:30), (C, 13:00)]，章。 100

// 等待边
[(B, 11:00), (B, 11:30)]，章。无限
[(B, 11:30), (B, 12:00)]，章。无限
[(B, 12:00), (B, 12:30)]，章。无限

【讨论】：

我不介意在您的示例中让人们在特定时间到达 C 市；我只对让尽可能多的人到那里感兴趣，以及返回人们应该乘坐的航班，以便尽可能多的人可以前往 C 市。
在这个例子中你的等待边表不应该都是字母'B'节点吗？是否可以将其简化为仅链接到下一个相关时间？即 11:00 -> 11:30 -> 12:00 -> 12:30，因此机场的每个到达和离开时间都被捕获为一个节点，并且它们以线性时间顺序链链接。
@IanMercer 这就是我的想法，以确保实际上可以从城市 A 到我们构建的图表中的每个其他城市（包括到城市 C）的连接航班。唯一的问题是一种有效地做到这一点的方法，只要给出一个任意顺序的航班列表。我认为可能需要一个嵌套的 for 循环来比较每个航班，这很有效，但这显然不是最有效的方法。
@IanMercer - 感谢您的两句话。我已经相应地更新了我的答案。
@honethecode265 - 我的解决方案不是关于人们何时到达C，而是更多关于他们没有得到在他们到达之前离开的航班。希望这个想法有用