给定起始节点覆盖所有边的算法答案

【问题标题】：Algorithm to cover all edges given starting node给定起始节点覆盖所有边的算法
【发布时间】：2013-09-18 14:42:59
【问题描述】：

我正在和朋友一起开发一款游戏的算法，但我们陷入了困境。目前，我们有一个循环无向图，我们正在尝试从起始节点 S 找到覆盖每条边的最快路径。我们不是在寻找旅行，可能会有重复的边缘。

关于算法或近似的任何想法？我确定这个问题是 NP-hard，但我不相信它是 TSP。

【问题讨论】：

只是检查一下，最快的意思是最短的，即边缘最少的吗？
它必须覆盖所有边，但是使用从起始节点开始的最短路径，它是一个类似树的图，所以你可能有死胡同，你必须重复边才能回溯
如果是树就做DFS？
如果我们要搜索目标节点，DFS 会很棒，但我看不出它对确定覆盖所有边的最短路径有何帮助
它真的是一棵树吗？在这种情况下，如果您在访问每个节点之前不停止 DFS，它将至少访问每个边一次。

标签： algorithm graph path shortest-path edges

【解决方案1】：

路线检查

这被称为route inspection problem，它确实有一个多项式解。

基本思想（有关详细信息，请参阅链接）是欧拉路径很容易求解（我们访问每条边一次），但欧拉路径仅适用于某些图。

特别是，一个图必须是连通的并且有 0 或 2 个奇数度的顶点。

但是，可以通过以最便宜的方式添加额外的边来将其推广到其他图，从而生成具有欧拉路径的图。（请注意，我们添加了更多边，因此我们可能会在原始图中的边上多次移动。）

选择添加额外边的最佳方式是一个最大匹配问题，可以在 O(n^3) 内解决。

附言

顺便说一句，我今天早些时候写了一个简单的演示 (link to game)，用于解决平面最大切割问题。这个解决方案原来是基于完全相同的路由检查问题:)

编辑

我刚刚从 cmets 中发现，在您的特定情况下，您的图表可能是一棵树。

如果是这样，那么我相信答案要简单得多，因为您只需要对树进行 DFS，确保首先访问最浅的子树。

例如，假设您有一棵树，其边为 S->A 和 S->A->B。 S 有两个子树，你应该先访问 A，因为它比较浅。

访问的总边数等于完整 DFS 中访问的边数减去最后访问的叶子的深度，这就是为什么要最小化总边数以最大化最后一个叶子的深度，因此访问首先是最浅的子树。

【讨论】：

【解决方案2】：

这有点像Eulerian Path。主要区别在于可能存在死胡同，您可以修改算法以满足您的需求。修剪死胡同是一种选择，或者您可以将图形减少为许多连接的组件。

【讨论】：

【解决方案3】：

DFS 将在这里工作。但是，您必须具有良好的评估功能才能尽早修剪分支。否则你不能快速解决这个问题。你可以参考我这里的Java讨论和实现http://www.capacode.com/?p=650

我的评估函数的详细信息我的第一个尝试是如果当前路径的长度加上从 U 到 G 的距离不短于我们找到的最小长度（存储在 minLength 变量中），我们将不会访问 U 下一个，因为它不能引导更短的路径。

实际上，上面的评估函数效率不高，因为它只在我们已经访问了大部分城市的情况下才有效。我们需要更精确地计算所有访问过的城市到达 G 的最小长度。

假设s是从S到U的长度，从U到访问G并经过所有城市，长度至少为s' = s + ∑minDistance(K) 其中K是未访问城市，与U不同； minDistance(K) 是从 K 到未访问状态的最小距离。基本上，对于每个未访问的州，我们假设我们可以以最短的边到达那个城市。请注意，那些最短的边可能不会构成有效路径。那么，如果 s' ≥ minLength，我们将不会访问 U。

使用该评估功能，我的程序可以在 1 秒内处理 20 个城市的问题。我还添加了另一个优化以进一步提高性能。在运行程序之前，我使用贪心算法来获得一个好的 minLength 值。具体来说，对于每个城市，我们接下来会访问最近的城市。原因是当我们的 minLength 较小时，我们可以修剪得更多。

【讨论】：