平面网格图的 Floyd Warshall 算法

Question

我有一个这样的图表：

我实现了这样的图形数组：

G[i][j][k]

K只有 4 个单元格，它显示顶点是否连接到它的四个相邻顶点。例如：

G[1][1][0] = 0 
G[1][1][1] = 1 
G[1][1][2] = 1 
G[1][1][3] = 0

表示顶点(1, 1)连接了2个顶点。

我知道用于正常类型图的 Floyd Warshall 算法。 但是我怎样才能为这种图实现 Flyod Warshall 算法呢？

谢谢。

Answer 1

您的图形表示基本上是一个adjacency list，对于每个顶点v= G[i][j]，您都有一个包含图形连接到的边的列表。在您的情况下，该列表由 4 个布尔值组成 - 每个都指示 (i,j) 是否连接到 (i-1,j),(i+1,j),(i,j-1),(i,j+1)，因此使用具有这种理解的 Floyd-Warshall 算法非常简单，如果查看 wikipedia pseudo code：

1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
2 for each vertex v
3    dist[v][v] ← 0
4 for each edge (u,v)
5    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
6 for k from 1 to |V|
7    for i from 1 to |V|
8       for j from 1 to |V|
9          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
10             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
11         end if

主要区别在于第 4-5 行，其中：

for each edge(u,v):

其实是

for each x=0,1,...,n-1
   for each y=0,1,...,m-1
       for each i=0,1,2,3:
             //if G[x][y][y] == 1 : it's an edge

---

另请注意，在您的图中，最大分支因子（连接到节点的边数）为 4。这意味着图中的最大边数为 |E| <= 4|V|。
由于您的图不是定向的，因此通过从每个节点执行 BFS 可以更有效地找到所有最短路径，这将花费 O(|V|*(|E|+|V|)) 时间，但由于 |E| <= 4|V|，这是 @ 987654333@ - 与在 O(|V|^3) 中运行的 Floyd-Warshall 相比。

Answer 2

Floyd-Warshall 算法对于这种稀疏图来说效率非常低。该图是稀疏的，因为每个顶点连接到的其他顶点不超过 4 个。在稠密图中，一个顶点最多可以连接到 N-1 个其他顶点，其中 N 是图中的顶点数。这就是 Floyd-Warshall 算法或多或少有效的地方，但是，如果您不需要每对顶点之间的最短路径或查找负长度循环，请考虑使用优先级队列来查找源和之间的最短路径所有其他顶点：https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm#Using_a_priority_queue。如果图中每条边的权重相等（未加权图），甚至可以使用广度优先搜索。

如果您仍然希望您的网格使用 Floyd-Warshall 算法，这里就是。考虑网格是N by M，索引从 1 开始，因此网格中的最大条目是 G[N][M][...]。那么 Floyd-Warshall 算法将是：

// edge offsets
const int offs[4][2] = {
    {-1, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {0, -1}
};
const int INF_DIST = 1e9;
int D[N+1][M+1][N+1][M+1];
//// Initialize weights to infinity
// For each source row and column (i,j)
for(int i=1; i<=N; i++) {
    for(int j=1; j<=M; j++) {
        // For each destination row and column (k,l)
        for(int k=1; k<=N; k++) {
            for(int l=1; l<=M; l++) {
                D[i][j][k][l] = INF_DIST;
            }
        }
    }
}
//// Mark edges of the graph
// For each row
for(int i=1; i<=N; i++) {
    // For each column
    for(int j=1; j<=M; j++) {
        // For each of the directions: up(k=0), right(k=1), down(k=2) and left(k=3)
        for(int k=0; k<=3; k++) {
            if(G[i][j][k] == 0) {
                // Don't add this edge to the distance matrix
                //   if the edge is not in the grid graph
                continue;
            }
            // Calculate (r, c) as the coordinates of the vertex one step 
            //   in the direction k
            int r = i + offs[k][0];
            int c = j + offs[k][1];
            if(1<=r && r <= N && 1<=c && c<=M) {
                // Only add the edge (if exists) in case (r, c) is within the grid
                D[i][j][r][c] = G[i][j][k];
            }
        }
    }
}
//// Find shortest paths between each pair of vertices
// For each intermediate vertex (k,l)
for(k=1; k<=N; k++) {
    for(l=1; l<=M; l++) {
        // For each source vertex (i,j)
        for(int i=1; i<=N; i++) {
            for(int j=1; j<=M; j++) {
                // For each destination vertex (r,c)
                for(int r=1; r<=N; r++) {
                    for(int c=1; c<=M; c++) {
                        // Apply the triangle rule
                        int alternative = D[i][j][k][l] + D[k][l][r][c];
                        if(alternative < D[i][j][r][c]) {
                            D[i][j][r][c] = alternative;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}