我想知道是否存在任何证明算法正确性的规则/方案？例如，我们在自然数上定义了一个函数 $F$，并定义如下：
function F(n,k)
begin
if k=0 then return 1
else if (n mod 2 = 0) and (k mod 2 = 1) then return 0
else return F(n div 2, k div 2);
end;
其中 $n \ \text{div}\ 2 = \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$
任务是证明 $F(n,k)= \begin{cases} 1 \Leftrightarrow {n \choose k} \ \text{mod} \ 2 = 1 \ 0 \text{ else } \end {案例} $
它看起来不是很复杂（我错了吗？），但我不知道这种证明应该如何构建。非常感谢您的帮助。
【问题讨论】：
标签： algorithm math recurrence proof
递归算法的正确性通常由mathematical induction 证明。该方法由两部分组成：首先，建立基础，然后使用归纳步骤。
在您的情况下，基础是 k=0 或 k 为奇数但 n 为偶数时的所有情况。
归纳步骤需要证明当f(n,k)正确时，f(2*n,2*k)、f(2*n+1,2*k)、f(2*n,2*k+1)和f(2*n+1,2*k+1)都是正确的。
【讨论】：
f(n,k)正确足够f(2*n,2*k)正确；然后你做其他三个。
除了在数学上证明你的逻辑（例如：inductive proof）之外，还有一些与此相关的计算科学成果。
您可以从这里开始了解主题：Correctness
对于您的特定情况，您会对部分正确性感兴趣，以表明答案是预期的。然后完全正确地表明程序终止了。
Hoare logic可以解决你的部分正确。
至于这个特定问题的终止：
如果 (n%2==0 and k%1==1) 或 (k==0) 程序终止，否则将递归到 n/2, k/2 的情况。
在 k 上使用strong induction，我们可以证明程序总是到达 k==0 的终端节点之一。 （它可能在第一个子句之前终止，但我们只需要证明它完全终止，就是这样）
所以我把部分正确性的证明留给了你（因为我不知道那些东西）
【讨论】：
一般来说，您会尝试通过归纳来证明其正确性。这在证明递归函数的正确性时非常有效，因为您可以直接证明基本情况，然后可以使用该函数适用于“较小”输入的事实来证明它适用于下一个最大的输入。
在这种情况下，我会尝试通过有根据的归纳来证明。具体来说，我会证明这一点
这个证明的细节需要利用你的函数的细节和二项式系数的 bahvaior，但一般模板如上。
希望这会有所帮助！
【讨论】：