透视投影：证明 1/z 是线性的？

Question

在 3D 渲染（或几何）中，在光栅化算法中，当您将三角形的顶点投影到屏幕上，然后查找像素是否与 2D 三角形重叠时，您通常需要查找深度或像素重叠的三角形的 z 坐标。通常，该方法包括计算三角形的二维“投影”图像中像素的重心坐标，然后使用这些坐标对三角形原始顶点的 z 坐标进行插值（在顶点投影之前）。

现在所有教科书中都写到你不能直接插入顶点的顶点坐标，但你需要这样做：

（抱歉不能让 Latex 工作？）

1/z = w0 * 1/v0.z + w1 * 1/v1.z + w2 * 1/v2.z

其中 w0、w1 和 w2 是三角形上“像素”的重心坐标。

现在，我要注意的是两件事：

• 证明插值 z 不起作用的正式证据是什么？
• 证明 1/z 做正确事情的正式证据是什么？

为了表明这不是家庭作业 ;-) 并且我自己做了一些工作，我找到了问题 2 的以下解释。

基本上，三角形可以由平面方程定义。因此你可以写：

Ax + By + Cz = D.

然后你隔离 z 得到 z = (D - Ax - By)/C

然后您将这个公式除以 z，就像使用透视除法一样，如果您开发、重组等，您会得到：

1/z = C/D + A/Dx/z + B/Dy/z。

然后我们将 C'=C/D B'=B/D 和 A'=A/D 命名为：

1/z = A'x/z + B'y/z + C'

它说 x/z 和 y/z 只是投影到屏幕上的三角形上的点的坐标，右边的方程是“仿射”函数，因此 1/z 是线性函数？ ??

这在我看来不像是演示？或者也许这是一个正确的想法，但不能真正说出你如何通过查看方程来判断这是一个仿射函数。如果你把你刚刚得到的所有项相乘：

A'x + B'y + C'z = 1。

这基本上就是我们原来的方程（只需要用适当的术语替换A'B'和C'）。

Answer 1

不确定你想在这里问什么，但如果你看一下：

1/z = A'x/z + B'y/z + C'

改写为：

1/z = A'u + B'v + C'

其中(u,v)是透视投影后三角形的屏幕坐标，可以看到三角形上一个点的深度（z）与(u,v)不是线性相关，而是1/depth是，即教科书试图教给你什么。