在 pari-gp 中，如何找到有限域的原始元素？答案

【问题标题】：In pari-gp, how to find a primitive element of finite field?在 pari-gp 中，如何找到有限域的原始元素？
【发布时间】：2016-05-10 12:32:44
【问题描述】：

说，我想要一个包含 q^n 元素的有限域，用于某些 prime q 和 positive n。如何获取其原始元素？

【问题讨论】：

标签： pari pari-gp finite-field

【解决方案1】：

您可以使用以下代码获取一些原始元素：

var = 'x; \\ sets a variable in the polynomial representation of finite field
f = ffgen(ffinit(q, n)); \\ GF(q^n) ~ GF(q)[x]/<f(x)>. Note `f` is just an irreducible
a = ffprimroot(f); \\ gets a root `a` of `f`
poly = minpoly(a, var); \\ finds a minimal polynomial for `a`
primitive_elt = ffgen(poly, var); \\ finds a root of the minimal polynomial

\\ assertion: check the order
fforder(primitive_elt) == q^n-1

请注意，有限域可以具有某些原始元素。上面的代码找到随机的任何。请注意，上面的代码假定 n > 1。否则，函数 minpoly 会崩溃（使用 PARI/GP 2.7.2 32 位测试）。

【讨论】：

您能帮帮我吗？让n = m * p。如何将GF(q^n)的原始元素作为GF(q^p)上的m维向量？
@aka_test：要达到您的目标，您必须将GF(q^n) 的最小多项式计算为GF(q^p) 上的多项式。详情请参阅johnkerl.org/doc/ffcomp.pdf（第 6.1 节）。