a^b^c 的最后一位

Question

我被这个问题困住了：

给定a、b和c三个 自然数（如 1

我首先想到的是 O(log n) 算法，用于在 n 次方处提高 a。

   int acc=1; //accumulator
   while(n>0) {
        if(n%2==1)
            acc*=a;
        a=a*a;
        n/=2;
    }

显然，一些基本的数学运算可能会有所帮助，例如“最后一位”的东西：

Last_digit(2^n) = Last_digit(2^(n%4))

其中 n%4 是除法 n/4 的余数

简而言之，我尝试将这些结合起来，但我无法走上正轨。

真的很感激一些帮助。

Answer 1

问题是b^c 可能非常大。所以你想在使用标准模幂之前减少它。

您可以注意a^(b^c) MOD 10 最多可以有 10 个不同的值。

由于鸽巢原理，会有一个数字p，这样对于一些r：

a^r MOD 10 = a^(p+r) MOD 10
p <= 10
r <= 10

这意味着对于任何q：

a^r MOD 10 = a^r*a^p MOD 10
           = (a^r*a^p)*a^p MOD 10
           = ...
           = a^(r+q*p) MOD 10

对于任何n = s+r+q*p，您拥有s < p：

a^n MOD 10 = a^s*a^(r+q*p) MOD 10
           = a^s*a^r MOD 10 
           = a^((n-r) MOD p)*a^r MOD 10

您可以在前面的等式中替换 n= (b^c)。

您将只计算(b^c-r) MOD p 其中p <= 10 这很容易完成，然后计算a^((b^c-r) MOD p)*a^r MOD 10。

Answer 2

就像我在我的 cmets 中提到的那样，这实际上与智能算法没有太大关系。使用一些初等数论可以完全减少这个问题。这将产生一个 O(1) 算法。

中国剩余定理说，如果我们知道某个数 x 模 2 和模 5，我们就知道它模 10。所以求 a^b^c 模 10 可以简化为求 a^b^c 模 2 和 a ^b^c 模 5。费马小定理说，对于任何素数 p，如果 p 不整除 a，则 a^(p-1) = 1 (mod p)，所以 a^n = a^(n mod ( p-1)) (mod p)。如果 p 确实除以 a，那么对于任何 n > 0，显然 a^n = 0 (mod p)。请注意，对于任何 n>0，x^n = x (mod 2)，所以 a^b^c = a (mod 2).

剩下的就是找到a^b^c mod 5，这简化为找到b^c mod 4。不幸的是，我们在这里既不能使用中国剩余定理，也不能使用费马小定理。但是，mod 4 b 只有 4 种可能性，所以我们可以单独检查它们。如果我们从 b = 0 (mod 4) 或 b = 1 (mod 4) 开始，那么当然 b^c = b (mod 4)。如果我们有 b = 2 (mod 4)，那么很容易看出 b^c = 2 (mod 4) 如果 c = 1，并且 b^c = 0 (mod 4) 如果 c > 1。如果 b = 3 ( mod 4) 如果 c 为偶数，则 b^c = 3，如果 c 为奇数，则 b^c = 1。这给了我们任何 b 和 c 的 b^c (mod 4)，然后给了我们 a^b^c (mod 5)，所有这些都在恒定时间内。

最后有了a^b^c = a (mod 2)，我们可以用中国剩余定理求a^b^c (mod 10)。这需要 (x (mod 2), y (mod 5)) 和 z (mod 10) 之间的映射。中国剩余定理只告诉我们这个映射是双射的，它没有告诉我们如何找到它。但是，只有 10 个选项，所以这很容易在一张纸上或使用一个小程序完成。一旦我们找到这个映射，我们只需将它存储在一个数组中，我们就可以在 O(1) 中完成整个计算。

顺便说一下，这将是我的算法在 python 中的实现：

# this table only  needs to be calculated once
# can also be hard-coded
mod2mod5_to_mod10 = [[0 for i in range(5)] for j in range(2)]
for i in range(10):
    mod2mod5_to_mod10[i % 2][i % 5] = i

[a,b,c] = [int(input()) for i in range(3)]

if a % 5 == 0:
    abcmod5 = 0
else:
    bmod4 = b % 4
    if bmod4  == 0 or bmod4 == 1:
        bcmod4 = bmod4 
    elif bmod4 == 2:
        if c == 1:
            bcmod4 = 2
        else:
            bcmod4 = 0
    else:
        if c % 2 == 0:
            bcmod4 = 1
        else:
            bcmod4 = 3

    abcmod5 = ((a % 5)**bcmod4) % 5

abcmod2 = a % 2

abcmod10 = mod2mod5_to_mod10[abcmod2][abcmod5]

print(abcmod10)