我直观地理解MonadFix 的纯度、紧缩和嵌套法则。但是，我很难理解滑动定律。
mfix (fmap h . f) = fmap h (mfix (f . h)) -- for strict h
我的第一个问题是，如果h 必须严格，那么mfix (f . h) 不会是最低值，即⊥？毕竟，f . h 在返回之前不能检查它的输入，以免引起悖论。但是，如果h 是严格的，那么它将必须检查其输入。也许我对严格函数的理解是错误的。
其次，为什么这条法律很重要？我能理解纯洁、紧缩和嵌套法则的重要性。但是，我不明白为什么mfix 遵守滑动定律很重要。您能否提供一个代码示例来说明为什么滑动定律对MonadFix 很重要？
【问题讨论】：
我不能完全解释法律，但我想我可以提供一些见解。
让我们忘记那个方程的单子部分，假设f,h :: A -> A 是普通的非单子函数。然后，法律将（非正式地）简化为以下内容：
fix (h . f) = h (fix (f . h))
这是不动点理论中的一个众所周知的性质，前段时间我discussed in CS.SE。
不过，非正式的直觉是，g :: A->A 的最小固定点可以写成
fix g = g (g (g (g ....))))
g 被应用“无限多次”。在这种情况下，当g 是像h . f 这样的组合时，我们得到
fix (h . f) = h (f (h (f (h (f ...)))))
同样，
fix (f . h) = f (h (f (h (f (h ...)))))
现在，由于两个应用程序都是无限的，如果我们在第二个应用程序之上应用h，我们希望获得第一个应用程序。在周期数中，4.5(78) 与 4.57(87) 相同，因此同样适用。在公式中，
h (fix (f . h)) = fix (h . f)
这正是我们想要的规律。
使用 monad，我们不能像 f :: A -> M B 和 h :: B -> A 那样轻松地组合事物，因为我们需要在这里和那里使用 fmap，当然还有 mfix 而不是修复。我们有
fmap h . f :: A -> M A
f . h :: B -> M B
所以两者都是mfix 的候选者。要在mfix 之后应用“顶级”h，我们还需要fmap，因为mfix 返回M A。然后我们得到
mfix (fmap h . f) = fmap h (mfix (f . h))
现在，上述推理并不完全严谨，但我相信它可以在领域理论中适当地形式化，因此即使从数学/理论的角度来看也是有意义的。
【讨论】：
很遗憾，您提供的链接对滑动定律的描述不正确。它指出：
mfix (fmap h . f) = fmap h (mfix (f . h)) -- for strict h
实际的滑动规律略有不同：
mfix (fmap h . f) = fmap h (mfix (f . h)), when f (h _|_) = f _|_
即前提条件比要求h严格。它只是询问f (h _|_) = f _|_。请注意，如果h 是严格的，则自动满足此前提条件。 （具体情况见下文。）这种区别在单子情况下很重要，即使fix 的相应法律没有它：
fix (f . g) = f (fix (g . f)) -- holds without any conditions!
这是因为底层 monad 的绑定通常在其左参数中是严格的，因此可以观察到“移动”的东西。有关详细信息，请参阅Value Recursion in Monadic Computations 的第 2.4 节。
h 案例当h 是严格的，那么这个定律实际上直接从(A -> M A) -> M A 类型的参数定理得出。这是在Section 2.6.4 中建立的，特别是同一文本的推论 2.6.12。从某种意义上说，这是“无聊”的情况：也就是说，所有带有 mfix 的 monad 都满足它。 （因此，将特定案例设为“法律”并没有任何意义。）
由于f (h _|_) = f _|_ 的要求较弱，我们得到了一个更有用的等式，可以让我们操纵涉及mfix 的项，因为它适用于由常规单子（即上面的f）和纯单子组成的函数（即上面的h）。
你仍然可以问，“我们为什么要关心滑动定律？” @chi 的回答提供了直觉。如果您使用 monadic bind 编写法律，它会变得更加清晰。这是该符号中的结果：
mfix (\x -> f x >>= return . h) = mfix (f . h) >>= return .h
如果您查看左侧，我们会看到 return . h 是一个中心箭头（即，仅影响值但不影响“一元”部分的箭头），因此我们希望能够将其从>>= 的右侧“提起”。事实证明，对于任意h，这个要求太高了：可以证明许多实际感兴趣的单子不具备mfix的这样一个定义。 （详情：见Corollary 3.1.7 in Chapter 3。）但是我们只需要f (h _|_) = h _|_的弱化形式被许多实际实例满足。
在图片中，滑动定律允许我们进行如下变换：
这给了我们直觉：我们希望将单子打结应用于“最小”可能的范围，允许其他计算在必要时重新排列/打乱。滑动属性准确地告诉我们什么时候可以做到这一点。
【讨论】：
我对 MonadFix 法律一无所知，但我对你问题的第一部分有话要说。 h 严格并不意味着 f . h 也是严格的。例如，采取
h = (+ 1) :: Int -> Int
f x = Nothing :: Maybe Int
对于所有输入 x，(f . h) x 返回 Nothing，因此永远不会调用 h。如果您担心我的h 没有看起来那么严格，请注意
fmap undefined (mfix (f . undefined)) :: Maybe Int
也返回Nothing。我对h 的选择无关紧要，因为根本不会调用h。
【讨论】：
f 可以选择是否评估其参数。感谢您澄清这一点。