仅使用集合中的数字查找等于或大于给定目标的总和

Question

示例 1：

商店销售啤酒，可用包装为每包 6 和 10 个单位。客户输入 26，算法回复 26，因为 26 = 10 + 10 + 6。

示例 2：

销售香料，可用包为 0.6、1.5 和 3。目标值 = 5。算法返回值 5.1，因为它是最接近的大于使用包（3、1.5、0.6）可能实现的目标的数字。

我需要一个能提示该数字的 Java 方法。

Bin packing problem 中描述了类似的算法，但它不适合我。 我试过了，当它返回的数字小于目标时，我再次运行它并增加了目标数。但是当包的数量很大时效率不高。

我需要几乎相同的算法，但最近的数字相等或更大。

类似问题：Find if a number is a possible sum of two or more numbers in a given set - python。

Answer 1

首先让我们将这个问题简化为整数而不是实数，否则我们将无法从中获得快速的最优算法。例如，让我们将所有数字乘以 100，然后将其四舍五入到下一个整数。假设我们有项目大小 x₁、...、x_n 和目标大小 Y。我们想要最小化这个值

k₁ x₁ + ... + k_n x_n - Y

条件下

(1) k_i 是一个非正整数，对于所有 n ≥ i ≥ 1

(2) k₁ x₁ + ... + k_n x_n - Y≥0

对此的一个简单算法是提出一系列问题，例如

1. 我们能否实现k₁ x₁ + ... + k_n x_n = Y + 0?
2. 我们能否实现k₁ x₁ + ... + k_n x_n = Y + 1?
3. 我们能否实现k₁ x₁ + ... + k_n x_n = Y + z?
4. 等。随着 z 的增加

直到我们得到“是”的答案。所有这些问题都是Knapsack 问题的实例，其权重设置等于项目的值。好消息是，如果我们可以为 z 建立一个上限，我们可以一次解决所有这些问题。很容易证明存在 z ≤ Y 的解，除非所有 x_i 都大于 Y，在这种情况下，解决方案就是选择最小的x_i。

所以让我们使用pseudopolynomial dynamic programming approach 来解决背包问题：让 f(i,j) 为 1 iif 我们可以达到总物品大小 j 与第一个>i 个项目 (x₁, ..., x_i)。我们有复发

f(0,0) = 1
f(0,j) = 0   for all j > 0
f(i,j) = f(i - 1, j) or f(i - 1, j - x_i) or f(i - 1, j - 2 * x_i) ...

我们可以在O(n * Y)时间和O(Y)空间解决这个DP数组。结果将是第一个 j ≥ Y 且 f(n, j) = 1。

有一些技术细节留给读者练习：

• 如何在 Java 中实现这一点
• 如果需要，如何重建解决方案。这可以使用 DP 数组在 O(n) 时间内完成（但我们需要 O(n * Y) 空间来记住整个事情）。

Answer 2

你想解决整数规划问题 min(ct) s.t. ct >= T, c >= 0 其中 T 是您的目标重量，c 是一个非负整数向量，指定每个包裹要购买多少，t 是指定每个包裹重量的向量。您可以使用另一个答案指出的动态规划来解决这个问题，或者，如果您的权重和目标权重太大，那么您可以使用通用整数规划求解器，这些求解器多年来经过高度优化，可以在实践中提供良好的速度性能.